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01.量子力学基础知识【1.1】将锂在火焰上燃烧,放出红光,波长λ=670.8nm,这是Li原子由电子组态(1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的,试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol-1为单位的能量。解:811412.99810ms4.46910s670.8mcνλ−−×⋅===×417111.49110cm670.810cmνλ−−===××%3414123-1-16.62610Js4.469106.602310mol178.4kJmolAEhNsν−−==×⋅××××=⋅【1.2】实验测定金属钠的光电效应数据如下:波长λ/nm312.5365.0404.7546.1光电子最大动能Ek/10-19J3.412.561.950.75作“动能-频率”,从图的斜率和截距计算出Plank常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。解:将各照射光波长换算成频率,并将各频率与对应的光电子的最大动能Ek列于下表:vλ/nm312.5365.0404.7546.1v/1014s-19.598.217.415.49Ek/10-19J3.412.561.950.75由表中数据作图,示于图1.2中4567891001234Ek/10-19Jν/1014g-1图1.2金属的kEν−图由式0khvhvE=+推知0kkEEhvvvΔ==−Δ即Planck常数等于图的斜率。选取两合适点,将和v值带入上式,即可求出h。例如:kE−vkE()()19341412.708.501.05106.601060010JhJss−−−×==×−×图中直线与横坐标的交点所代表的即金属的临界频率,由图可知,。因此,金属钠的脱出功为:v0v14104.3610vs−=×341410196.60104.36102.8810WhvJssJ−−−==×××=×【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s-1,如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时,发射光电子的最大速度是多少?解:2012hvhvmv=+()12018123414193122.9981026.626105.46410300109.10910hvvmmsJssmkgυ−−−−−−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎞×××−×⎢⎥⎜⎟×⎝⎠⎢⎥=⎢⎥×⎢⎥⎣⎦1341412315126.626104.529109.109108.1210Jsskgms−−−−⎡⎤××××=⎢⎥×⎣⎦=×【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长:(a)质量为10-10kg,运动速度为0.01m·s-1的尘埃;(b)动能为0.1eV的中子;(c)动能为300eV的自由电子。解:根据关系式:(1)34221016.62610Js6.62610m10kg0.01mshmvλ−−−−×⋅===××⋅()3412719-11(2)26.62610Js21.67510kg0.1eV1.60210JeV9.40310mhhpmTλ−−−−==×⋅=×××××⋅=×34311911(3)26.62610Js29.10910kg1.60210C300V7.0810mhhpmeVλ−−−−==×⋅=×××××=×【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图,加速电压为,计算电子加速后运动时的波长。200kV解:根据deBroglie关系式:34311951226.6261029.109101.602102102.74210hhhpmmeVJskgCVmλυ−−−−===×=××××××=×【1.6】对一个运动速度cυ(光速)的自由粒子,有人进行了如下推导:1vvvv2hhEmpmνλ=====①②③④⑤结果得出12mmυυ=的结论。上述推导错在何处?请说明理由。解:微观粒子具有波性和粒性,两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达:/Ehvphλ==式中,等号左边的物理量体现了粒性,等号右边的物理量体现了波性,而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式:pmυ=知①,②,④和⑤四步都是正确的。微粒波的波长λ服从下式:/uvλ=式中,u是微粒的传播速度,它不等于微粒的运动速度υ,但③中用了/uvλ=,显然是错的。在④中,无疑是正确的,这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能,则⑤也不正确。Ehv=【1.7】子弹(质量0.01kg,速度1000m·s-1),尘埃(质量10-9kg,速度10m·s-1)、作布郎运动的花粉(质量10-13kg,速度1m·s-1)、原子中电子(速度1000m·s-1)等,其速度的不确定度均为原速度的10%,判断在确定这些质点位置时,不确定度关系是否有实际意义?解:按测不准关系,诸粒子的坐标的不确定度分别为:子弹:343416.26106.63100.01100010%hJsxmmvkgms−−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅尘埃:3425916.626106.6310101010%hJsxmmvkgms−−−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅花粉:34201316.626106.631010110%hJsxmmvkgms−−−−×⋅Δ===×⋅Δ××⋅电子:3463116.626107.27109.10910100010%hJsxmmvkgms−−−−×⋅Δ===×⋅Δ×××⋅【1.8】电视机显象管中运动的电子,假定加速电压为1000V,电子运动速度的不确定度υΔ为υ的10%,判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响?解:在给定加速电压下,由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为:3431193102/10%6.626101029.109101.60210103.8810hhxmmeVmJskgCVmυ−−−−==×××=×××××=×这坐标不确定度对于电视机(即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机)荧光屏的大小来说,完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此,电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。【1.9】用不确定度关系说明光学光栅(周期约)观察不到电子衍射(用100000电压加速电子)。610m−V解:解法一:根据不确定度关系,电子位置的不确定度为:991111.22610/11.22610100001.22610xhhxmphVmmλ−−−===×=×=×这不确定度约为光学光栅周期的10-5倍,即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10-5倍,用光学光栅观察不到电子衍射。解法二:若电子位置的不确定度为10-6m,则由不确定关系决定的动量不确定度为:3462816.62610106.62610xhJpxmJsm−−−−×Δ==Δ=×s在104V的加速电压下,电子的动量为:31194231229.109101.60210105.40210xxpmmeVkgCVJsmυ−−−−===×××××=×由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为:2812315arcsinarcsin6.62610arcsin5.40210arcsin100xxoppJsmJsmθθ−−−−−Δ==⎛⎞×⎜⎟×⎝⎠≈这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进,落到同一个点上。因此,用光学光栅观察不到电子衍射。【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符:22,,,log,sin,,dddxidxdxdx解:由线性算符的定义:ijiˆˆA()AAjˆψψψ+=+ψ22dd,,dxdxx为线性算符;而didx为线性自轭算符.【1.11】2axxeϕ−=是算符22224daxdx⎛⎞−⎜⎟⎝的本征函数,求其本征值。⎠解:应用量子力学基本假设Ⅱ(算符)和Ⅲ(本征函数,本征值和本征方程)得:22222222244axddaxaxxedxdxψ−⎛⎞⎛⎞−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()2222224axaxdxeaxxedx−−=−()2222222232323242444axaxaxaxaxaxaxdeaxeaxedxaxeaxeaxeaxe−−−−−−=−−=−−+−2−266axaxeaψ−=−=−因此,本征值为。6a−【1.12】下列函数中,哪几个是算符22ddx的本征函数?若是,求出本征值。ex3,sin,2cos,,sincosxxxx+x解:2x2dedx=,是xe22ddx的本征函数,本征值为1。22dsinx1sinx,dx=×sinx是22ddx的本征函数,本征值为1。22d(2cosx)2cosxdx=【1.13】imeφ和cosmφ对算符didφ是否为本征函数?若是,求出本征值。解:imimdieiedφφφ=,imimmeφ=−所以,imeφ是算符didφ的本征函数,本征值为m−。而()cossinsincosdimimmimmcdmφφφφ=−=−≠φ所以cosmφ不是算符didφ的本征函数。【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。证:在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为:()2sinnnxxllπψ=01xn=1,2,3,……令n和n’表示不同的量子数,积分:()()()()()()()()()()()()()()''00'0''''0''''0''''22sinsin2sinsinsinsin222sinsinsinsinllnnlllnxnxxxddxllllnxnxdxlllnnnnxxlllnnnnllnnnnxxllnnnnnnnnnnnnππψψτππππππππππππππ==⎡⎤−+⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥−+××⎢⎥⎣⎦⎡⎤−+⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦−+=−−+∫∫∫n和皆为正整数,因而和'n()'nn−()'nn+皆为正整数,所以积分:()()'00lnnxxdψψτ=∫根据定义,()nxψ和()'nxψ互相正交。【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为()2sinnnxxllπϕ=1,2,3n=⋅⋅⋅式中l是势箱的长度,x是粒子的坐标()0xl,求粒子的能量,以及坐标、动量的平均值。解:(1)将能量算符直接作用于波函数,所得常数即为粒子的能量:222n222hd2nπxhd2nπnπxˆHψ(x)-(sin)-(cos)8πmdxll8πmdxlll==222(sin8hnnnmllll)xππππ=−××−222222222sin()88nhnnxnhxmlllmlππψπ=−××=即:2228nhEml=(2)由于ˆx()(),xnnˆxcxψψ≠无本征值,只能求粒子坐标的平均值:()()xlxnsinlxlxnsinlxxˆxxl*lnl*nd22dx000∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==ππψψ()xlxncosxldxlxnsinxllld22122002∫∫⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ππ200012sinsind222lllxlnxlnx2xxlnlnlππππ⎡⎤⎛⎞=−+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫2l=(3)由于()()ˆˆp,pxnnxcxψψ≠x无本征值。按下式计算px的平均值:()()1*0ˆdxnxnpxpxxψψ=∫1022sinsind2nxihdnxxlldxllπππ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫20sincosd0lnihnxnxxlllππ=−=∫【1.16】求一维势箱中粒子在1ϕ和2ϕ状态时,在箱中0.49范围内出现的概率,并与图1.3.2(b)相比较,讨论所得结果是否合理。~0.51ll解:(a)()12sinxxllπψ=()2212sinxxllπψ=()222sinxxllπψ=()22222sinxxllπψ=由上述表达式计算()21xψ和()22xψ,并列表如下:/xl01/81/41/33/81/2()211/xlψ−2100.2931.0001.5001.7262.000()2/xlψ−01.0002.0001.5001.0000/xl5/82/33/47/81()211/xlψ−211.7261.5001.0000.2930()2/xlψ−1.0001.5002.0001.0000根据表中所列数据作()2nx
本文标题:结构化学课后习题及答案
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