应变分析

7.4点的应变状态7.4.1应变的表示方法7.4.1.1应变的定义在外力作用下，物体内部任意两点间的相对位臵发生改变时，则认为物体发生了变形。物体的变形通常包含：线长度的变化角度的变化AC′A′DCByxoD″D′B′B″图6-15yx坐标系中变形情况αxyαyx◆表示线长度的相对伸长或缩短的量称为线应变或正应变，线段伸长时的正应变为正，缩短时为负。◆表示角度变化的量称为切应变。角度减小时的切应变为正值，角度增大时为负值。ABA’B’ABABBAAB0limαα''◆表示线长度的相对伸长或缩短的量称为线应变或正应变，线段伸长时的正应变为正，缩短时为负。◆表示角度变化的量称为切应变。角度减小时的切应变为正值，角度增大时为负值。只考虑小变形，弹塑性变形不加区别；可以忽略切应变对线长度的影响AC′A′DCByxoD″D′B′B″图6-15yx坐标系中变形情况αxyαyxABABBAAB0limABABBAABx0limADADDAADy0limDABBADADAByxxyxy00lim7变形前-变形后7.4.1.2应变的表示方法表示应变量大小的方法通常有两种：◆工程应变：相对应变、名义应变◆对数应变：真（实）应变、自然应变。设l0为物体中两质点变形前的尺寸，ln为变形后尺寸，则工程应变可用下式表示，即％变形前的尺寸的尺寸变形后的尺寸－变形前工程应变＝100%10000llln对于实际变形过程，设物体中两质点的距离由变形前的l0经过n个变形过程后变为ln。l1l0l2ln对数应变：总的应变量可近似地看作是个n个无限小的相对应变之和：11223112001110110nnniiiniiinilllllllllllllllll当n无限增大时，以积分代替求和，则总的应变量为01100lnlim0llldlllnlliininln∈反映了物体变形的实际情况，称为对数应变Є03lnll对数应变的确切定义为：在应变主轴保持不变条件下的应变增量的总和。真应变真实应变)1ln()1ln(00llln0lnlln7.4.1.3对数应变和工程应变的对比当变形程度很小时，工程应变的高次项可以忽略，Є≈ε。变形程度愈大，二者相差愈大。（1）工程应变不能反映变形的实际情况432413121ЄЄ03lnll一般当变形程度10%时，就可以认为：Є≈ε对数应变具有可加性，而工程应变不具有可加性l1l0l2l3（2）l0l3l1l2总的工程应变为：003lll各阶段的工程应变为：001lll一112lll二223lll三三二一l0l3l1l2工程应变不具有可加性总的对数应变为:Є03lnll各阶段的对数应变为:Є101lnll，Є122lnll，Є233lnllЄ1+Є2+Є3=03231201lnlnllllllllЄ对数应变具有可加性对数应变为可比应变，工程应变不可比变形体l0拉伸一倍2l0压缩一倍l0/2（3）12000lll=100%，5.05.0000lll=-50%Є+2ln2ln00ll=69%，Є-2ln5.0ln00ll=-69%Є+2ln2ln00ll=69%，Є-2ln5.0ln00ll=-69%≠=（4）工程应变计算简单对数应变虽具有上述优点，但在工程计算上，由于必须查找自然对数，显然在使用上是不方便的，所以，除了要求计算精度较高时采用对数应变外，通常采用工程应变。%100,%100%100003003003hhhbbbllllbl，工程应变应用非常方便7.4.2点的应变状态7.4.2.1应变几何方程应变分量与位移分量之间的关系ouyuxuzzxyAA′图6-16变形体内任意一点的位移分量uzyxuuzyxuuzyxuuzzyyxx,,,,,,,,ouyuxuzzxyAA′图6-16变形体内任意一点的位移分量uuAA’：点A的位移矢量。由于变形体是连续的，位移矢量是坐标的连续函数：zyxuu,,在坐标轴方向的分量分别为：zyxuu,,单元体变形后：变形是均匀的变形前互相平行的平面，变形后仍保持平行互相平行的两个平面在坐标面的投影相同投影到X-Y坐标平面内ABDCA’B’C’dxdyux(x,y)uxB(x+dx,y)uxD(x,y+dy)D’uyB(x+dx,y)uy(x,y)uyD(x,y+dy)设A点沿x轴和y轴方向的位移分别为yxuuyxuuyyxx,,,设B点沿x轴和y轴方向的位移分别为ydxxuuydxxuuyByxBx,,,设D点沿x轴和y轴方向的位移分别为dyyxuudyyxuuyDyxDx,,,将B点和D点的位移按泰勒级数展开，忽略二阶以上高阶微量，则可得D点的位移：dxxuuudxxuuuyyByxxBx,dyyuuudyyuuuyyDyxxDx,B点的位移：xC′BDoydxxuydyyuxdxxuuxxdyyuuyyACBB″D″D′B′uxuydxdyA′图6-17位移与变形的关系αxyαyxyudydyudydyyuuADADDAxudxdxudxdxxuuABABBAyyyyyxxxxxxC′BDoydxxuydyyuxdxxuuxxdyyuuyyACBB″D″D′B′uxuydxdyA′图6-17位移与变形的关系αxyαyx切应变由角度的变化来表示yuyuudydyyuuudyyuuudyuuuDADDxuxuudxdxxuuudxxuuudxuuuBABByxyyyxxxyDyxDxyxyxxyxxxyyyxBxyByxyxy1tan1tanyyxxyuxu、yuxuxyxyxy,由X轴到Y轴即εx,小变形，远小于1xC′BDoydxxuydyyuxdxxuuxxdyyuuyyACBB″D″D′B′uxuydxdyA′图6-17位移与变形的关系αxyαyxxuxxxuyxyyuyyzuzzyuzyzzuxzx应变几何方程xuyuzuu应变分量与位移分量之间的关系塑性加工理论基本方程中的6个yuxyxxyyxxyyx?仿照切应力互等定律，将看作是由棱边AB和AD同时向内偏转相同的角度γxy和γyx组成的，因此，将切应变定义为yuxuxyyxxyxyyuxuxyyxxyxyyxxy212121叫做角度变化叫做切应变对于实际变形过程，虽然棱边AB和AD偏转的角度不一定相同，即αxy≠αxy，但所产生的塑性变形效果是一样的，即棱边AB和AD偏转的角度之和为υxy，而与αxy和αxy是否相等无关。由于在一般情况下，αxy≠αxy，，显然在αxy和αxy中也常常包含了单元体绕z轴作刚性转动时产生的角度变化ωzzyxyxzxyxy,xyyxxy2zyxxy2yxxyxy21AxzAAyxxyyyxxuyxyyx变形剪切变形刚性转动图6-18切应变与刚性转动切应变与刚性转动xuzuzuzuyuyuyuxuxuzxxzzxzzyzzyyzyyxyyxxyxx212121ijjiijxuxu21ijxxyxzyxyyzzxzyz前式是在小变形条件下，由变形的几何关系导出的，称为（小）应变几何方程。由式可知，若已知三个位移分量，则可以确定九个应变分量，其中独立的应变分量只有六个。ijxxyxzyxyyzzxzyzuxuyuz7.4.2.2点的应变状态一点的应变状态被确定，是指过该点所有截面上的应变分量均是确定的。从无数多个截面中，找出一组相互垂直的三个平面可以求出过该点任意截面上的应变ijxxyxzyxyyzzxzyzzxyzxyzyxrnlmnlmnml2222ijxxyxzyxyyzzxzyz22222rzyxrdruddruddrud因此，可以说，已知：可以确定该点的应变状态ijxxyxzyxyyzzxzyz7.4.3体积不变条件设单元体的边长为dx、dy、dz，变形前的体积为变形后的体积为dxdydzV0zdydxdV''0VV体积不变条件：zyxdzdzdzzddzzddydydyyddyyddxdxdxxddxxd111111单元体单位体积的变化量：zyxxzzyyxzyxzyxdxdydzdxdydzxdzdydxdV1111zyxxzzyyxzyxVVV0在小变形条件下，应变的乘积相可略去，则体积变化可表示为zyx0体积不变条件也可以用对数应变来表示。由于V=V0，因此，可得1dxdydzzdydxd将上式两边取对数，可得dzzddyyddxxdlnlnlnεx+εy+εz=0体积不变条件可以表示成：0zyx'0VV0321dzzddyyddxxdlnlnlnεx+εy+εz=0应变主平面：切应变为零的平面应变主方向：应变主平面的法线方向主应变：切应变为零平面上的正应变ε1、ε2、ε37.4.4主应变与主切应变7.4.4.1主应变与应变张量不变量ij123000000回忆：应力状态的特征方程：012213III321222313322122223211)(2)()(xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxIII应变张量的特征方程012213JJJ)(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxJJJ应变张量的第一不变量应变张量的第二不变量应变张量的第三不变量321、、主应变：ε1、ε2、ε3是方程的根，因此0321321222313322122223211)(2)()(xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzy