利用导数研究函数的极值和最值

1第22课时利用导数研究函数的极（最）值一、知识梳理1.函数的极值的定义:（1）若0x满足0()0fx，且在0x的两侧()fx的导数异号，则0x是()fx的极值点，0()fx是极值，并且如果()fx在0x两侧满足“________________”，则0x是()fx的极大值点，0()fx是极大值；如果()fx在0x两侧满足“_________________”，则0x是()fx的极小值点，0()fx是极小值.（2）求可导函数f(x)的极值的步骤:______________________________________________________________________________________________________________________________（3）函数的最值若在函数的定义域内存在0x，使得对于任意的xI，都有0()()fxfx，则称0()fx为函数的最大值，记作max0()yfx；若在函数的定义域内存在0x，使得对于任意的xI，都有0()()fxfx，则称0()fx为函数的最小值，记作min0()yfx.(4)求函数在闭区间上的最值的步骤：______________________________________________________________________________________________________________________________二、基础训练1.函数32()37fxxx的极大值是_______________.2.已知函数3223yxxa的极大值是6，那么实数a_____________________.3.函数sinxyex在区间0,上的最小值为______________.4.若不等式4342xxa对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是____________;5.若函数3227yxaxbx在1x和3x处有极值，则________,_________ab；6.若函数333yxbxb在(0,1)内有极小值，则b的范围是__________________;7.已知aR，若函数2()(1)xfxexaxa有两个极值点，则实数a的取值范围是_________;8.已知1ln(),xfxx若函数()fx在区间(,1)aa上有极值，则实数a的取值范围是_________;2三、例题解析类型一求函数的极值例1.求函数32()395fxxxx的极值.例2.求函数()lnfxxax的极值.练习1.求函数232()(0)3fxxaxa的单调区间及极值.类型二已知函数的极值，求参数例3.已知函数32()32fxxaxbx在1x处有极小值-1，试确定实数,ab的值，并求()fx的单调区间.练习1.已知实数0a，函数2()(2)()fxaxxxR有极大值32，试求实数a的值和()fx的单调区间.练习2.实数a为何值时，函数1()sinsin33fxaxx在3x处有极值？它是极大值还是极小值？极值是多少？3例4.若函数2()ln(2)fxxaxax在12x处取得极大值，求正数a的取值范围.类型三求函数的最值例5.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值：（1）()sin2,,22fxxxx；（2）(),0,1.xfxxex例6.已知函数321()3,3fxxaxxx是()fx的极值点，求()fx在1,a上的最大值.例7.已知函数2()ln,()3fxxxgxxax.(1)求函数()fx在,2(0)ttt上的最小值；(2)若对一切(0,)x，2()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围.4练习：设函数1()(0)xxfxaebaae，求函数()fx在0+，内的最小值.类型四已知函数的最值，求参数的大小或范围例8.若函数32()6,1,2fxaxaxbx的最大值为3，最小值为-29，求a,b的值.例9.已知函数()lnafxxx，若函数()fx在1,e上的最小值为32，求实数a的值.例10.设函数()lnfxxax，()xgxeax，若()fx在+（1，）上是单调减函数，且()gx在+（1，）上有最小值，求a的取值范围.