弹性与塑性力学基础-第4章广义虎克定律和弹性力学解题

哈工大（威海）材料学院弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.1应力与应变关系的提出4.1.2虎克定律4.1.3波桑比4.1.4广义虎克定律§4-2基本方程4.2.1弹性阶段本构关系4.2.2平衡方程4.2.3几何方程4.2.4本构方程§4-3边界条件4.3.1边界问题类型4.3.2位移边界问题4.3.3应力边界问题4.3.4混合边界问题弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.1问题的提出弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。已学的基本方程－9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元体的力平衡）3个，几何方程（应变－位移关系）6个。未知变量的个数（15）多于方程数（9）→必须研究受力物体的应力与应变之间的关系→物理方程。对于弹性问题，即广义虎克定律。弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.2虎克定律1、单向拉伸（压缩）：材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹性的，两者之间满足虎克定律。其表达式如下：拉伸或压缩方向：x=·x与拉伸或压缩垂直的方向：y=z=-μ·x式中：－弹性模量，μ－泊松比2、纯剪：在小变形情况下，由实验可知，正应力与剪应变无关，剪应力与正应变无关。剪应力与剪应变的关系为：τxy=G·γxy式中：G－剪切模量，弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法)1(2EG哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律3、平面应力状态:对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下，正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的叠加原理是适用的。平面双向拉（压）应力纯剪应力状态弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律3、平面应力状态:由于应力x的作用：x方向应变为y方向应变为由于应力y的作用：y方向应变为x方向应变为弹性与塑性力学基础ExxEEyEy)(1)(1xyxyyyxyxxEEEEEE同时有x和y作用在x方向及y方向的应变为(4-3)平面应力时的虎克定律第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律3、平面应力状态：在x和y作用下，z方向的应变εz=-μ(x＋y)/E在剪应力作用下，X-Y平面内的剪应变与纯剪时相同，即：式中，为剪切弹性模量弹性与塑性力学基础纯剪应力状态Gxyxy)1(2EG第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.3广义虎克定律用相同的方法，可以导出三维应力状态下的各向同性均匀材料的广义虎克定律，其形式为：(4-4)（各向同性均匀材料的含义，即材料内部各处的不同方向具有相同的μ、E、G值）弹性与塑性力学基础GGGEEEzxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxx)]([1)]([1)]([1第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.4广义虎克定律的不同形式将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有如令则上式可写为或(4-5)(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比，而与应力偏量无关。弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法)](2)[(1zyxzyxzyxE)(21zyxE03,3xyzxyzmE21mE210哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.4广义虎克定律的不同形式引入以上表达式后，广义虎克定律又可写为：(4-6)弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法11[(1)],11[(1)],11[(1)],xxxyxyyyyzyzzzzxzxEGEGEG哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.4广义虎克定律的不同形式由式(4-6)及式(4-5)，可得即：式中：ex=x-0为应变偏量分量，为应力偏量分量。用相同的方法，可得：弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法)(121]3)1[(121])1[(10mxmmxmxxEEEEExxxGEe211mxxyyyGEe211zzzGEe211哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.4广义虎克定律的不同形式因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：(4-7)弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对应力主轴或应变主轴无影响）弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法xxxGEe211yyyGEe211zzzGEe211Geeezxzxyzyzxyxyzzyyxx21222哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.3广义虎克定律的不同形式各向同性体的虎克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题时，有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变即得式(4-6)的第一式利用式(4-5)便可得由上式可得弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法1[()]xxxxyzE])1[(1xxE])21()1[(1EExxE211(1)(12)xxEE哈工大（威海）材料学院§4-1广义虎克定律4.1.3广义虎克定律的不同形式如引用=并注意到则有用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下(4-8)称为拉梅(Lamé)弹性常数。用体积应变表示应力时则有(4-9)如令，则式(4-9)可写成(K—体积弹性模量)(4-9')弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法)21)(1(E12EGxxG2zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGGGGG222)23(21GE)21(3EKK3哈工大（威海）材料学院§4-2基本方程4.2.1弹性阶段本构关系在弹性问题中，本构关系即广义虎克定律（6个方程）4.2.2平衡方程（3个方程）(4-10)或(4-10')弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法000yxxzxxyzyxyyyzxzzKxyzKyzxKzzxy),,,(0,zyxjiKjjij哈工大（威海）材料学院§4-2基本方程4.2.3几何方程（应变－位移关系，6个方程）(4-11)或(4-11')弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法zuxwzwzvywyvxvyuxuzxzyzyxyx),,,()(21,,,zyxjiuuijjiji哈工大（威海）材料学院§4-2基本方程4.2.3几何方程由应变位移关系导出的应变协调方程：(4-12)弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法222222222222222222222yxyxyyzzxxzzyzxyxxzyyzxyxzyzxyxzzyxxyzyyzxzzxyzxxyzzxyxyzxyzxyz哈工大（威海）材料学院§4-2基本方程4.2.4本构方程弹性阶段本构关系为广义虎克定律(4-13)或(4-13')弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法GEGEGEzxzxyxzzyzyzzxyyxyxyzyxx)],([1)],([1)],([1),,,(,1zyxjiEEkkijijij哈工大（威海）材料学院§4-2基本方程4.2.4本构方程如用应变表示应力，则有(4-14)或(4-14')弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGGGGG),21(2),21(2),21(2kkijijijeEE)21)(1(1哈工大（威海）材料学院§4-3边界条件解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。4.3.1边界问题类型三类：位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题1、位移边界问题物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为：其中，us和vs是位移的边界值，和在边界上是坐标的已知函数2、应力边界问题物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力方面的已知条件，即为应力边界条件。弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法vvuuss,vu哈工大（威海）材料学院§4-3边界条件2、应力边界问题（平面问题）由平衡微分方程采用的正平行六面体，到物体的边界上，将成为三角形或三棱柱(它的斜面AB与物体的边界重合).平面问题如图所示，用N代表边界面AB的外法线方向，并令N的方向余弦为几何尺寸：设边界面AB的长度为dS，则有：PA＝ldS，PB＝mdS。垂直于XOY面方向的尺寸仍取一个单位弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法.),cos(,),cos(myNlxN受力平衡图哈工大（威海）材料学院§4-3边界条件2、应力边界问题（平面问题）由平衡条件FX=0得略去含dS2的高阶微量项，得其中(X)s和(yx)s是应力分量边界值,由FY=0，可得另一相似方程。边界各点应力分量与面力分量关系(4-16)(4-16)式即为平面问题应力边界条件弹性与塑性力学基础第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法受力平衡图012111ldSmdSKmdSldSdSSxyxxxxxyxsxSml)()(()()()()xsyxsxysxysylmSlmS哈工大（威海）材料学院§4-3边界条件2、应力边界问题（平面问题）考虑第三个平衡条件M=0，有特例：垂直于x轴的边界上，l=1，m＝0，应力边界条件简化为垂直于y轴的边界上，l=0，m=1，应力边界条件简化为即：应力分量边界值等于对应面力分量弹性与塑