河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试(理数)

1河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}42|{},31|{xRxQxRxP，则)(QCPR（）A．]3,2[B．]3,2(C．)2,1[D．),1[]2,(2.下面是关于复数iz12的四个命题：zpizpzp:;2:;2|:|3221的共轭复数为zpi:;14的虚部为1，其中的真命题为（）A．32,ppB．21,ppC．42,ppD．43,pp3.设Ra，则“1a”是“直线012:1yaxl与直线04)1(:2yaxl平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.在如图11，所示的空间直角坐标系xyzO中，一个四面体的顶点坐标分别是),0,2,2(),0,0,0(),1,2,1()2,2,2(.给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C.④和③D．④和②5.设等差数列}{na的前n项和为3,0,2,11mmmnSSSS，则m（）A．3B．4C.5D．66.已知数列}{},{nnba满足Nnbbaabannnn,2,11111，则数列}{nab的前10项的和为（）2A．)14(349B．)14(3410C.)14(319D．)14(31107.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．2B．3C.213D．2158.曲线xey21在点),4(2e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．229eB．24eC.22eD．2e9.已知函数4),2||,0)(sin()(xxxf为)(xf的零点，4x为)(xfy图象的对称轴，且)(xf在)365,18(上单调，则的最大值为（）A．11B．9C.7D．510.椭圆134:22yxC的左、右顶点分别为21,AA，点P在C上且直线2PA斜率的取值范围是]1,2[，那么直线1PA斜率的取值范围是（）A．]43,21[B．]43,83[C.]1,21[D．]1,43[11.样本),...,,(21nxxx的平均数为x，样本),...,,(21myyy的平均数为)(yxy，若样本),...,,,,...,,(2121mnyyyxxx的平均数210,)1(ayaxaz，则mn,的大小关系为（）A．mnB．mnC.mnD．不能确定12.函数)(xf的定义域是2)0(,fR，对任意1)()(,xfxfRx，则不等式1)(xxexfe的解集为（）A．}0|{xxB．}0|{xxC.1|{xx或}1xD．1|{xx或}10x第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第12次的数学成绩依次记为1221,...,,AAA.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程3图.那么算法流程图输出的结果是．14.已知函数13)(3xaxxf对]1,0(x总有0)(xf成立，则实数a的取值范围是．15.已知0cos2sinaa，则aaa2coscossin2的值是．16.已知过点)0,4(P的直线与抛物线xy42相交于),(),,(2211yxByxA两点，则2221yy的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,.已知)(sinsinsinRpBpCA，且241bac.（1）当1,45bp时，求ca,的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围.18.已知数列}{na的各项均为正数，前n项和为nS，且*,2)1(NnaaSnnn.（1）求证：数列}{na是等差数列；（2）设nnnnbbbTSb...,2121，求nT.19.在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是直角梯形，2ABCDAB，且42BCAB2AD，侧面PAB底面PABABCD,是等边三角形.（1）求证：PCBD；（2）求二面角DPCB的大小.20.已知椭圆)0(1:2222babyaxE过点)2,0(，且离心率22e.（1）求椭圆E的方程；（2）设直)(1:Rmmyxl交椭圆E于BA,两点，判断点)0,49(G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.21.已知函数xaxxfln)(.（1）若)(xf在],1[e上的最小值为23，求a的值；（2）若2)(xxf在),1(上恒成立，求a的取值范围.22.已知关于x的不等式axx2log|1||12|（其中0a）.（1）当4a时，求不等式的解集；（2）若不等式在),23[内有解，求实数a的取值范围.5数学（理科）参考答案一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.B【解析】由得Q＝{x|x≥2或x≤－2}．∴∁RQ＝(－2,2)．又P＝[1,3]，∴P∪∁RQ＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．2.C.z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．3A当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行；反之由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，4D由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.5.C【解析】由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，由得解得6D【解析】由题意可得，所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．又a1=1，所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b1•22n﹣2=22n﹣2．设cn=，所以cn=22n﹣2，所以，所以数列{cn}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为．故选D．7.D【解析】设双曲线方程为－＝1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为6y＝x，而kBF＝－，∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，故选D.8.D9.B因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.10.B椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则＝·＝，而，即＝(4－)，所以＝－，所以kPA1∈11.A依题意得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m，x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym＝(m＋n)＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，所以n＋m＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，所以于是有n－m＝(m＋n)[α－(1－α)]＝(m＋n)(2α－1)．因为0＜α＜，所以2α－1＜0.所以n－m＜0，即n＜m.12.A【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－exex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数，又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13【答案】9【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为9个14.【答案】[4，＋∞)【解析】当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝＝－，因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．715.【答案】－1【解析】sinα＋2cosα＝0，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，又∵2sinαcosα－cos2α＝＝，∴原式＝＝－1.16【答案】32【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4，代入y2＝4x，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴＋＝16＋16＝32.当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－4)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－16k＝0.由题意知k≠0，则y1＋y2＝，y1y2＝－16.∴＋＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋3232.三、解答题：共6小题，70分。应写出必要的文字说明或推理，验算过程17【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题设并利用正弦定理，得…………3分解得或…………6分（Ⅱ）由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2accosB…=p2b2-即……9分，因为，得，…………11分由题设知，所以…………12分18【答案】（1）证明见解析；(2)Tn＝【解析】(1)证明∵Sn＝，n∈N*，∴当n＝1时，a1＝S1＝(an0)，∴a1＝1.当n≥2时，由得2an＝a＋an－a－an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－10，∴an－an－1＝1(n≥2)．所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)可得an＝n，Sn＝，∴bn＝＝＝－.8∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.19【答案】(2).【解析】方法一：(1)证明：取AB中点为O，连结PO，OC，∵△PAB是等边三角形，∴PO⊥AB，又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴OC为PC在底面ABCD上的射影．又∵AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝，∴△DAB≌△OBC，∴∠BCO＝∠DBA，又∵∠ABD＋∠CBD＝90°，∴∠CBD＋∠BCO＝90°.∴BD⊥OC，∴BD⊥PC.(2)取PC中点E，连结BE，DE，∵PB＝BC，∴BE⊥PC.又∵BD⊥PC，BE∩BD＝B，∴PC⊥平面BDE，∴PC⊥DE，∴∠BED是二面角B－PC－D的平面角．∵AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝，∴BE＝PE＝PC＝，PD＝BD＝.∴DE＝，∴BE2＋DE2＝BD2，∴∠BED＝，∴二面角B－PC－D的大小为.方法二：(1)证明：取AB中点为O，CD中点为M，连结OM，PO，∵△PAB是等边三角形，∴PO⊥AB，又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴以O为坐标原点，建立空间直角坐标系．如图，∵AB＝BC＝2AD＝2，△PAB是等边三角形，∴OP＝，∴O(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(－1，1，0)，P(0，0，)．∴＝(－2，1，0)，＝(1，2，－)．∵·＝－2＋2＝0，∴BD⊥PC.(2)设平面PBC的法向量为＝(x1，y1，z1)．∵＝(1，0，－)，＝(0，2，0)，∴令z1＝1，则x1＝，y1＝0，∴＝(，0，1)．设平面PCD的法向量为＝(x2，y2，z2)，∵＝(2，1，0)，＝(1，－1，)，∴令x2＝1，则y2＝－2，z2＝－，∴＝(1，－2，－)．∴cos9〈，〉＝＝＝0，∴〈，〉＝