北师大版八年级三角形证明课后题汇总

1第一章：三角形1.1等腰三角形1、将下面证明中每一步的理由写在括号内：已知：如图，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C．证明：连接BD．在△BAD和△DCB中，∵AB＝CD()AD＝CB()BD＝DB()∴△BAD≌△DCB()∴∠A＝∠C()2、已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．3、如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D，求∠BAD的度数。4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，连接BE,CE,请找出图中所有相等的角。5、如图，在△ABC中，AB=BC,点D,E都在BC上，且AD=AE,证明BD=CE.21.2等腰三角形1、如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.若BD=BC,则∠A等于多少度？2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，点E,F分别在AB和AC尚，并且AE=AF.求证：DE=DF3、已知：如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点，且AD=CE。求证：CD=BE4、如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC⑴分别在AB,AD的中点E,F处拉两根彩线EC,FC.证明:这两根彩线的长度相等。⑵如果AE=1/3AB,AF=1/3AD,那麼彩线的长度相等吗?如果AE=1/4AB,AF=1/4AD呢?由此你能得到什麼结论?31.3等腰三角形1、已知：如图，∠CEA是△ABC的外角，AD平行BC，且∠1=∠2.求证：AB=AC.2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP垂直于BC，垂足为P，EP交AB于点F。求证：△AEF是等腰三角形。3、如图，一艘船从A处出发，以18kn的速度向北航行，经过10h到处B处。分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从B处到灯塔C的距离．41.4等腰三角形1、已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E,求证：△ADE是等边三角形。2、屋梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30º，AB＝7.4m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，求BC的长。3、如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点吗？请证明你的结论．（2）如果△DEF是等边三角形，点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点，那么△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论．4、证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。5、如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A、），折痕交AB于点E，那么∠ADE等于多少度？你能证明你的结论吗？（利用第4题的结论）52.1直角三角形1、如图，在四边形ABCD中，AB平行CD，E为BC上的一点，且∠BAE=45°，2、一个直角三角形屋梁如图所示，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=10m，CB₁⊥AB,B₁C₁⊥AC,垂足分别为B₁,C₁,那么BC的长是多少？B₁C₁呢？3、小红想测量离A处30m的大树的高度，她站在A处仰望树顶B，仰角为30°（即∠BDE=30°），已知小红身高1.52m．求大树的高度．4、如图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A沿棱柱的表面到顶点C′处吃食物.那么它需要爬行的最短路程的长是多少？5、DE⊥AC已知：如图，点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．66、已知：如图，AB=CD,DE⊥于AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F,且DE=BF。求证：（1）AE=CF;（2）AB⁄⁄CD.7、如图所示，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点F处，若AB＝12cm，BC＝16cm．（1）求AE的长；（2）求重合部分的面积．8、如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证B′E＝BF；（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．3.1线段的垂直平分线1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求∠AFC的度数。72、如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。3、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？你能画图说明吗？4、如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8cm，AB＝6cm，BC边的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长．5、如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．4.1角平分线1、已知，如图，OC是∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E.求证：PD=PE.82、已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．3、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别为E和F，且DE=DF,求DE的长。4、如图，在三角形ABC中，AC=BC，∠A=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证AB=AC+CD5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE=FD．96、已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线。求证：BD=2CD。7、已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相较于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上。8、已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC垂直OA，PD垂直于OB，垂足分别为C，D,求证：（1）OC=OD（2）OP是CD的垂直平分线。三角形证明单元总复习1、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，且三角10形ABD=三角形ACE，BD与CE相交于点O。求证：（1）OB=OC。（2）BE=CD。2、已知：如图，BD，CE是△ABC的高，且BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形。3、在△ABC中，已知∠A,∠B,∠C的度数之比是1：2：3，AB=3，求AC的长。4、已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N,M，OM=ON,BM与AN相交于点P,求证：PM=PN。5、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D、E。求证AE=2CE.6、如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD，BE，两线交于点A，已知CD=2,DE=1,求Rt△ABC的面积。117、如图，在三角形ABC中，∠B=64°，∠BAC=72°，D为BC上一点，DE交AC于点F,且AB=AD=DE，连接AE,∠E=55°。请判断△AFD的形状，并说明理由（证明）。联系拓广8、如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E。已知△BCE的周长为8，AC-BC=2，求AB与BC的长。《三角形的证明》课外巩固培优练习题121、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。求证：DF=EF2、如图，AF平分∠BAC，P是AF上任一点，过P向AB、AC作垂线PD、PE，D、E分别为垂足，连结DE，求证：AF垂直平分DE。3、如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，AB=3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F．（1）求证：△ACD≌△BAE；（2）请你过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．4、如图，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF5、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，E为垂足，EF交BC的延长线于F，ABCEPDFABCDEF13ADECBABCD求证：∠CAF＝∠B6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°E为AB的中点，且DE⊥AB于F，∠CAD︰∠BAD＝1︰2，试求∠B和∠BAC的度数。7、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，BD的垂直平分线交AB于P，PD交AC于E，求证：点P也在AE的垂直平分线上8、如图所示，已知AD//BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C，求证：（1）E为DC的中点；（2）AD＋BC=AB.2、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.ACBDEABCPDEF143、ABC中，120AACAB，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：BC21DE。5、在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。6、已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。7、如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。9、如图，在ABC中，90ACB，30CAB，以AC、AB为边在ABC外侧作等边ACD和等边ABE，连结DE交AB于F.15求证：EFDF12、如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC．求证：EF∥AB．13、如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥DE于D，DE交BC于E，求证：CD=12BE．14．如图2，在Rt△ABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=12∠ABE，求证：DE=2AB图4FCDEBAMBACDE图5BADCEF图2