中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(6)

2011—2012学年第一学期《高等数学》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2012年1月3日页号一二三四五六总分本页满分30181218157本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废；5．本试卷正文共6页。一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1．函数23422xxxy的可去间断点是_________.2．曲线21xye的下凸区间是_________________________.3．设(ln)lnfxxx，则()fx____________C.4.211d1xx=____________.5.221cosyyxxx的通解是_________________________．二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1.设函数0,00,1sin)(2xxxxxf，则()fx在点0x处（）．A．极限不存在；B．极限存在但不连续；C.连续但不可导；D．可导.2.已知0x时，30()3sincosdxfxxtt与kcx是等价无穷小，则（）．A．1,4kc；B．1,4kc；C.3,4kc；D．3,4kc.3．设)(xf连续，(0)0,(0)2ff，则20(1)limxxfexx（）．A．2；B．；C.1；D．12.4．函数()yfx在1x处有连续导数，21)('lim1xxfx，则1x处取得（）.A.拐点；B.极大值；C.极小值；D.都不是.5．微分方程xxyyee的特解形式为（）．A．()xxaee；B．()xxaxee；C．2()xxxaebe；D．()xxxaebe.本页满分30分本页得分三、计算题（共5小题，每小题6分，共30分）1.求极限41cos0lndlim1xxxttte.2．方程ttyduututxtarctan)(102确定y为x的函数，求dydx及22dydx.3．求极限40[sinsin(sin)]sinlimxxxxx.本页满分18分本页得分4．求定积分1220arcsind1xxxx.5．设0sin()xtfxdtt,求0()fxdx.本页满分12分本页得分本页满分18分四、应用题（共3小题，共24分）1．（本题6分）求曲线1()ln(1)xfxex的渐近线.2．（本题12分）设由曲线xye与过点(1,)e的切线及y轴所围平面图形为D.（1）．求D的面积A；（2）．求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V.3．（本题6分）有半径为R的半球形容器如图，设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?本页得分本页满分15分本页得分五、证明题（16分）1．（本题9分）设0x，证明：xxxx)1ln(1.2．（本题7分）设函数()fx在[0,5]上连续，在(0,5)内存在二阶导数，且20()d2(3)(4)(5)fxxfff，证明：（1）存在[0,3)，使()(3);ff（2）存在(0,5)，使()0f.本页满分7分本页得分答案一、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．x=2；2．11(,)22；3．()fxxxxeeC；4．45．21(sin)2yxxC二、填空题共（5小题，每小题3分，共计15分）1．（D）；2．（C）；3．（C）；4．（C）；5．（D）.三、计算题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1．求极限41cos0lndlim1xxxttte解：原式1cos40lndlimxxtttx30cosln(cos)(sin)lim4xxxxx20ln(cos)lim4xxx0sin1coslim88xxxx2．方程20d1()arctanttuxutuytt确定y为x的函数，求dydx及22dydx。解：令tuv，则0220(-d)d11ttvvxvvvv，21dxtdtt；221dytdtt，dytdx，又()1ddydtdx，2221dytdxt3．求极限40[sinsin(sin)]sinlimxxxxx解：40[sinsin(sin)]sinlimxxxxx30sinsin(sin)limxxxx20coscos(sin)coslim3xxxxx20cos(1cos(sin))lim3xxxx201cos(sin)lim3xxx0sin(sin)coslim6xxxx0sinlim6xxx164．求积分1220arcsind1xxxx。解：法一：令sinxt，则原式60sin.coscostttdtt60sinttdt60costdt6600coscostttdt603cos12tdt60313sin12212t法二：1220arcsind1xxxx1220arcsind1xx1122222001arcsind11d1xxxxx316225．设0sin()xtfxdtt,求0()fxdx.解：'0sinsin(0)0,(),().txffdtfxtx'000()()()fxdxxfxxfxdx0sin()xfxdxx00sinsintxdtxdxtx0()sinxxdxx0sin2.xdx四、应用题（共2小题，共计24分）1．（本题6分）求1()ln(1)xfxex的渐近线。解：0lim()xfx0x是曲线的垂直渐近线。lim()0.xfx曲线有水平渐近线0y。又()limxfxax21ln(1)lim1xxexx，lim[()]xbfxx1lim[ln(1)]xxexx1limln()0xxxeeyx是曲线的一条斜渐近线。2．（本题12分）设由曲线xye与过点(1,)e的切线及y轴所围平面图形为D。（1）．求D的面积A；（2）．求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。解：（1）11xxxyee，过(1,)e的切线方程为(1)yeex，即yex。10()dxAeexx12e（2）22111(ln)d3eVeyy211(ln)2lnd3eeeyyyy112[lnd]3eeeeyyy2(1)3e3．（本题6分）有半径为R的半球形容器如图，设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?解:过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为222Rxy。取x为积分变量，对应于[,d]xxx薄层所需的功元素2223dg()dg()dWRxxxRxxx故所求功为2340g()dg4RWRxxxR。五、证明题（16分）1．（本题9分）设0x，证明：xxxx)1ln(1.证明：设ttfln)(，则)(tf在(0,)内连续，可导。对)(tf在]1,1[x上应用Lagrange中值定理，得xx1ln)1ln(。x11,1111x，即xxxx1,即xxxx)1ln(1。2．（本题7分）设函数()fx在[0,5]上连续，在(0,5)内存在二阶导数，且oyxxR20()d2(3)(4)(5)fxxfff，证明：（1）存在[0,3)，使()(3);ff（2）存在(0,5)，使()0f。证明：（1）()fx在[0,5]上连续，[0,2][0,3)，使202(3)()d()(20)ffxxf，即()(3)ff（2）()fx在[4,5][0,5]上连续，由最值定理知()fx在[4,5]取到最大值M和最小值m.(4)(5)2ffmM，由连通性定理知1[4,5]，使1(4)(5)()2fff，即1()(3)ff。因为()fx在(0,5)内存在二阶导数，满足罗尔定理的条件，所以2(,3)，使2()0,f31(3,)，使3()0,f进而23(,)(0,5)使()0f