考点17-三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式

第3部分三角函数与平面向量第六章三角函数1.三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式1.任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.三角函数(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.填空题：2017·北京，122.三角函数的图象及其变换选择题：2017·课标Ⅰ，9选择题：2016·课标Ⅱ，7选择题：2015·课标Ⅰ，8填空题：2016·课标Ⅲ，14(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性.3.三角函数的性质及其应用(4)理解同角三角函数的基本关系式：(5)了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.选择题：2017·课标Ⅲ，6选择题：2016·课标Ⅰ，12填空题：2017·课标Ⅱ，14sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.17三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式1．三角函数的有关概念(1)象限角第一象限角的集合①_____________________________第二象限角的集合②________________________________第三象限角的集合③___________________________________第四象限角的集合④___________________________________α2kπαπ2＋2kπ，k∈Zαπ2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Zαπ＋2kπα3π2＋2kπ，k∈Zα3π2＋2kπα2π＋2kπ，k∈Z(2)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合⑤_________________________．(3)角度与弧度的互化及有关公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(弧度)，半径为r.1°＝π180rad；1rad＝⑥________角度与弧度的换算弧长公式弧长l＝⑦____扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2180π°{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}|α|r(4)任意角的三角函数及三角函数线三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么⑧____叫作α的正弦，记作sinα⑨____叫作α的余弦，记作cosα⑩____叫作α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－yxyx三角函数线有向线段⑪______为正弦线有向线段⑫______为余弦线有向线段⑬______为正切线MPOMAT由三角函数线得出的重要结论：(1)(2)特别地，当α为第一象限角时，sinα＋cosα1.2．同角三角函数关系式(1)平方关系：⑭________________．(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.sin2α＋cos2α＝1(1)公式常见变形：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(2)利用平方关系求三角函数值，进行开方时，要根据角的范围判断相应三角函数值的符号．sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α，sinα＝cosαtanα，cosα＝sinαtanα等．3．诱导公式(1)诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanαπ2－απ2＋α(2)诱导公式的记忆规律(i)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．(ii)“奇”“偶”指的是诱导公式k·π2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．(iii)“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．考向1三角函数的定义及应用三角函数的定义是三角函数的基础，高考中单独考查的较少，常与三角变换公式综合命题，考查先利用三角函数定义求角的三角函数值，再求其他角的三角函数值，或判断三角函数值的符号，或已知三角函数值求参数等，一般以选择题、填空题的形式出现，分值为5分，属容易题．例1(2018·广东广州模拟，3)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和－35，45，则sin(α＋β)＝()A．－3665B.4865C．－313D.3365思路点拨：三角函数的定义―→求出sinα，cosα，sinβ，cosβ的值―→代入两角和的正弦公式求值【答案】D【解析】因为角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和－35，45，所以sinα＝513，cosα＝1213，sinβ＝45，cosβ＝－35，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×－35＋1213×45＝3365.利用三角函数定义解题的基本类型及方法(1)已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值，先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值，可直接根据三角函数线求解．(3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值，先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题，先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．变式训练1．(2018·河南郑州月考，3)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．－43D【解析】因为α是第二象限角，所以cosα＝15x0，即x0.又cosα＝15x＝xx2＋16，解得x＝－3，所以tanα＝4x＝－43.2．(2018·湖北武汉月考，16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为______________________．(2－sin2，1－cos2)∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，【解析】如图，由题意知BP︵＝OB＝2.故∠DAP＝2－π2，∴DA＝APcos2－π2＝sin2，DP＝APsin2－π2＝－cos2.∴OC＝2－sin2，PC＝1－cos2.∴OP→＝(2－sin2，1－cos2)．考向2同角三角函数的关系式及应用同角三角函数的基本关系式在求解三角函数中承担着改变函数名称的功能，多与其他三角变换公式融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，难度中低档．例2(2017·陕西西安模拟，5)若tanα＝12，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.35【答案】B【解析】∵tanα＝12，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－1tan2α＋1＝－35.同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦．利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．(3)知切求弦．通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·(2)知弦求切．常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝sinαcosα的灵活应用．cosα的形式，然后用平方关系求解．(4)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(5)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ.变式训练【解析】∵直线2x＋y－3＝0的倾斜角为θ，∴tanθ＝－2，1．(2017·四川绵阳模拟，6)已知直线2x＋y－3＝0的倾斜角为θ，则sinθ＋cosθsinθ－cosθ的值是()A．－3B．－2C.13D．3C∴sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝tanθ＋1tanθ－1＝－2＋1－2－1＝13.故选C.2．(2018·江西南昌模拟，4)已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝()A.22B.2C．－22D．－2A【解析】因为sinα＋2cosα＝3，所以(sinα＋2cosα)2＝3，所以sin2α＋22sinαcosα＋2cos2α＝3，所以sin2α＋22sinαcosα＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3，所以tan2α＋22tanα＋2tan2α＋1＝3，整理得2tan2α－22tanα＋1＝0，所以tanα＝22.考向3诱导公式及应用诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，高考中单独考查较少，多与三角恒等变换结合在一起考查，难度较小，为中低档题目，以客观题的形式出现，分值为5分．例3(1)(2018·山东济南调研，3)已知cosπ12－θ＝13，则sin5π12＋θ的值是()A.13B.223C．－13D．－223(2)(2014·安徽，6)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12【解析】(1)sin5π12＋θ＝sinπ2－π12－θ＝cosπ12－θ＝13.【答案】(1)A(2)A(2)由已知，得f23π6＝f17π6＋sin17π6＝f11π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sinπ6＋sin－π6＋sinπ6＝0＋12＋－12＋12＝12.应用诱导公式的思路与技巧(1)使用诱导公式的一般思路①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向①切化弦，统一名．②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．变式训练1．(2018·河北石家庄三校联考，3)点A(sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为sin2018°＝sin(11×180°＋38°)＝－sin38°0，cos2018°＝cos(11×180°＋38°)＝－cos38°0，所以点A位于第三象限．C2．(2017·山西孝义模拟，4)若sin(π＋α)＝35，α是第三象限的角，则sinπ＋α2－cosπ＋α2sinπ－α2－cosπ－α2＝()A.12B．－12C．2D．－2B【解析】∵sin(π＋α)＝－sinα＝35，即sinα＝－35，α是第三象限的角，∴cosα＝－45.则原式＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα22cosα2－sinα2