高考试题中空间向量与立体几何建系问题专题探究

高考试题中空间向量与立体几何建系问题专题探究•在利用空间向量解答立体几何问题在掌握相应的概念和基础的计算公式外，主要要突破“四关”：•第一突破“建系关”；•第二，突破“求坐标关”；•第三突破“求法向量关”；•第四突破“应用公式关”。•在四关中建系是入门关，如何建立合适的直角坐标系是解决立体几何问题的入门关键所在，一、空间直角坐标系的建立及空间中点的坐标确定方法•1、空间直角坐标系的建立方法：在空间中取原点0，从原点0引三条两两垂直的直线做为坐标轴，最后选定某个长度作为单位长度。如右图oxzy2、空间中点的坐标的确定方法坐标。的横坐标，纵坐标，竖三个数值叫的空间坐标，记作叫则（在其相应轴上坐标依为分别为交点轴，平面与三个坐标轴个平面分别垂直分别做三，求它的坐标：过点对于空间任意一点PzyxPPzyxzyxRQPzyxMM),,,(),,,,,,,,,,二、向量法解决立体几何问题建系方法归纳•历届高考试题中，立体几何建系方法主要可以归纳为以下三种：•1、空间直角坐标系的原点建在立体几何图形的原点上；•2、空间直角坐标系的原点建在立体几何图形的边上；•3、空间直角坐标系原点建在立体几何图形的面上。•在建立空间直角坐标系中，建系方法往往有多种，这样一题可以有多种解法。.32,,2172010(1ABBCDABBCDMCDMCDBCD已知平面平面面的正三角形，平都是边长为与）如图，江西数理、例ABCMD所成二面角正弦值。与平面）求平面（的距离；到平面求点BCDACMMBCA2)1(5152532||||),32,0,0(),1,1,3(0330030).3,3,0(),0,3,1(),,(nnBAdBAnzyBMnyxBCnBMBCMCBzyxn则取一个法向量则是平面设BCD平面MOBCD,平面MCD平面CD,OMCD,OBOM,OB,连O,中点CD取边,法一：证明如右图解ABCMDyzox空间直角坐标系如图：轴，建立轴、轴、为、、为原点，直线取zyxOMBOOCO），、），、则各点的坐标分别为则有323-0(03,0(),3,0,0(),0,0,1(,3:ABMCOMOB5152532||||),32,0,0(),1,1,3(0330030).3,3,0(),0,3,1(),,(nnBAdBAnzyBMnyxBCnBMBCMCBzyxn则取一个法向量则是平面设有轴建立直角坐标系，则、为、轴，为垂直的直线为坐标原点，与如右图取解法二：zyBABDxBFBDB)0,0,32(),3,23,23(),0,0,32()0,2,0(),0,1,3(),0,0,0(),32,0,0(FMFDCBAABCMDoxzyF5152532||||),1,3,1(0323230030)3,23,23().0,1,3(),32,0,0(),,(nnBAdnzyxBMnxyBCnBMBCBAMCBzyxn则取一个法向量则是平面设),,,(1zyxnBCM的一个法向量为设平面），，、、0,13(),32323()2(BCBM032323,zyxBMn)1,0,0()1,3,1(2nBCDn的一个法向量为平面又03yxBAn又5551||||,cos212121nnnnnn552sin，则设所求的二面角为建立直角坐标系，则轴、为、轴，为垂直的直线为坐标原点，与取解法三：zxABBDyBFBDD)1(),3,23,21(),0,0,0(),0,3,1(),0,0,2(),32,0,2(MDCBA5152532||||),1,3,1(0323230030)3,23,23().0,3,1(),32,0,2(),,(nnBAdnzyxBMnyxBCnBMBCBAMCBzyxn则一个法向量则是平面设ABCMDoxzyyzoABCMDxABCMDoxzyyzoABCMDxABCMDoxzy的余弦值。求二面角平行平面）证明：直线（的中点。分别是棱平行为等腰梯形，中，底面棱柱山东理）如图，在直四CFCBFCCEEABAAADFEEAACDBCABCDABABCDDCBAABCD1;111111111)2(1,,,,,2,2,4,2009(ABCDEF1A1B1C1D1ER系，轴，建立空间直角坐标为轴，为轴，为以则连点中，取为等腰梯形，为正三角形，中点为棱：解。zDDyDCxDMCDDMABDMDMMAFABCBACABCDBCFCFBCBFABFCDBCAB1,,,,60,,2,4)1(),1,1,3(),0,21,23(),2,2,0(),0,2,0(),0,1,3(),0,1,3(),0,0,0(11EECCFADABCDEF1A1B1C1D1ExyzR),2,1,3(),2,0,0(),0,1,3(),1,21,23(111FCCCCFEE111111,001321123),0,3,1(00030),,,(FCCEEEEnEEnnzCCnyxCFnzyxnFCC平行平面的一个法向量为设平面。所求二面角的余弦值为，则的一个法向量为，设平面）（7777722304312||||cos),3,0,2(0230020),,,()0,2,0(211111111111nnnnnnnzyxFCnyFBnzyxnBFCFB