70数学物理方程-第一章数学模型和基本原理介绍

1第一章数学建模及基本原理介绍用数学理论和方法研究实际问题时，一般说来先要建立合理的数学模型.在很多情况下，所建立起的模型为偏微分方程的某种定解问题.本章将对几个典型的实际问题进行分析，建立起相应的数学模型.并结合这些模型，介绍本门课程的一些主要数学概念及研究此类问题的一些基本思想和方法.§1.1数学模型的建立微分方程本质上是函数的某种局部平衡关系，其中含有该函数导数.在初等数学中我们知道，含有未知数的等式叫方程.而建立方程的过程主要有三步：先设所求解的量为未知数x，然后找出所研究问题满足的等量关系式，最后利用一些基本的关系式将等量关系式两边用已知量和未知数x表示即成.本节我们用类似过程，导出几个来自物理学领域的实际问题所满足的微分方程和定解条件.除用到几个基本的物理公式外，主要是利用高等数学中同学们已学过的“微元法”思想.1.1.1弦振动方程和定解条件物理模型一长为l的柔软、均匀细弦，拉紧之后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦线上任一点在任一时刻的位移.在这里弦线是‘充分柔软’的假设，是指当它发生变形时只抗伸长而不抗弯曲，即只考虑弦线上不同部分之间张力的相互作用，而对弦线反抗弯曲所产生的力矩忽略不计.而‘均匀’的含义是弦线的线密度为常数.所谓‘横振动’，是指弦的运动发生在同一平面内，且弦线上各点位移与平衡位置垂直.导出方程以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线位置且通过弦线的一个端点的直线为u轴建立坐标系（图1.1）.以),(txu表示在时刻t弦线横坐标为x的点离开平衡位置的位移.设为弦的线密度（千克∕米），0f为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫力密度（牛顿∕米）.任取一小段弦线，不包括两个端点，（图1.1）其中1T和2T分别是弦线在两端所受到的张力，即其余部分弦线对该小段弦线的xxxf0x2u11T2T图1.12作用力,1为1T与水平方向的夹角，2为2T与水平方向的夹角.将所取小段弦线近似视为质点,由牛顿第二定律得maF（1.1）式（1.1）是弦线运动所服从的物理定律，数学上即是等量关系式.F为该段弦线所受垂直于平衡位置，即u轴方向的合外力.对（1.1）中各项分别计算并作简化处理如下：首先易见F包含三部分：F1T在u轴方向的分量2T在u轴方向的分量强迫外力（1.2）1F2F3F.设ui为u轴正向的单位向量，利用向量的点乘运算可得1F1Tui1T),cos(1uiT1T)2cos(111sinT，（1.3）2F2Tui2T),cos(2uiT2T2cos()222sinT.（1.4）由于弦线的弧微分为21udxx，故有230(,)1().xxxuFfxtdxx（1.5）弦线作微小横振动，所以1，2充分小，因此有1sin～1tg，2sin～2tg，22211()1()()12uuuoxxx.由于假设弦线是均匀、柔软，可认为弦线每点处张力)(xT的方向为弦线的切线方向，弦线各点处张力的大小相等.故有1T＝2T＝0T（常数）.利用1),(tgtxxu，22)(),(tgtgtxxxu和等价无穷小代换得000(,)(,)(,)uuFTxxtTxtfxtxxx.(1.6)其次，将弦线近似为质点可得222(,),1,xxxuuaxtmdxxtx(1.7)3其中,xxxx.将(1.6)和(1.7)代入到(1.1)中便得20002(,)(,)(,)(,).uuuxxtTxxtTxtfxtxtxx(1.8)假设),(txu具有二阶连续偏导数，对（1.8）式右端前二项利用微分中值定理得2202022(,)(,)(,),uuxxtTxtxfxtxtx(1.9)其中2,xxxx.(1.9)式两边同除x，再令0x便得到),(txu所满足的方程22222(,),uuafxttx(1.10)其中02Ta，),(),(0txftxf.方程（1.10）刻划了柔软均匀细弦微小横振动时所服从的一般规律，即局部等量关系，人们称它为弦振动方程（vibratingstringequation）.一根弦线的特定振动情况除满足弦振动方程外，还依赖于初始时刻弦线的状态和在弦线两端所受到外界的约束.因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外，还必须给出它适合的初始条件(initialvaluecondition)和边界条件(boundaryvaluecondition).初始条件：即给出弦线在时刻0t时的位移和速度，分别称为初始位移和初始速度,)()0,(xxu，(,0)()tuxx，lx0（1.11）这里)(x和)(x是已知函数.边界条件：一般说来有三种.1.已知端点的位移变化，即)(),0(1tgtu，)(),(2tgtlu，0t（1.12）当0)()(21tgtg时，称弦线具有固定端.2.已知端点所受的垂直于弦线的外力,即)(),0(10tgtuTx，)(),(20tgtluTx，0t（1.13）这里要注意在推导弦振动方程时，由于在小弦线左端，张力1T在u轴方向的分量为),(0txuTx，而在右端，张力2T在u轴方向分量为),(0txxuTx.因此，在0x端，已知的外力)(1tg相当于该端点的张力，即)(),0(10tgtuTx；同理，在lx端，边界条件为)(),(20tgtluTx.当0)()(21tgtg时，称弦线具有自由端.43.在端点与弹性物体连接.设弦线两端分别连接在弹性系数为1k、2k1(k﹥0,2k﹥0)的两个弹簧上，弹簧的长度分别为1l和2l.这两个弹簧的另一端还分别连接在由函数)(1tQ和)(2tQ所表示的位置上（如图1.2），这时相当于两个弹簧的下端也随时间在运动.若12(),(),QtaQtb此时相当于两个弹簧的下端固定.u1()Qtx2()Qt图1.2在任意时刻0,xt端弹簧的实际伸缩量为11)(),0(ltQtu.由Hooke（虎克）定律可知该端的弹性恢复力（相当于张力）为))(),0((111ltQtuk.取区间x,0上相应的弦线，利用和建立弦振动方程完全相同的方法可得2011102(,)((0,)())(,)xuTuxtkutQtlfxxxtt,令0x得0111(0,)((0,)())0xTutkutQtl，0t,即)(),0(),0(11tgtutux，0t,这里011Tk﹥0，1111()(())gtQtl.类似可得在lx端边界条件为22(,)(,)()xultultgt，022Tk﹥0，2222()(())gtQtl.因此，在具有弹性支撑的边界，弦线的边界条件如下0x端)(),0(),0(11tgtutux,0t（1.14）lx端)(),(),(22tgtlutlux,0t（1.15）5热量2Q2tt热量1Q1tt热源生成热量W12ttt通过边界G流入量12ttt+=_初始条件和边界条件通常称为定解条件.一个微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题.当考虑的弦线比较长时，一般认为弦长是无穷大.这时定解条件中就没有边界条件而只有初始条件，这也是一个定解问题.以下两个问题212(,),0,0(1.16)(0,)(),(,)(),0(1.17)(,0)(),(,0)(),0ttxxtuaufxtxltutgtultgttuxxuxxxl(1.18)2(,),,01.19(0,)(),(,0)(),.1.20ttxxtuaufxtxtutxuxxx（）（）都是弦振动方程的定解问题.在定解问题（1.16）—（1.18）中，即含有初始条件又含有边界条件，通常称为弦振动方程的混合问题.而在定解问题（1.19）—（1.20）中只含有初始条件，称为弦振动方程的初值问题（或Cauchy问题）.注1如果考虑膜的振动或者是声波在空气中的传播，利用和弦振动方程类似的过程可以导出膜振动方程为2222222()(,,)uuuafxyttxy.而声波在空气中传播所满足的方程为222222222()(,,,)uuuuafxyzttxyz.这些方程统称为波动方程(waveequation).1.1.2热传导方程和定解条件物理模型在三维空间中考虑一个均匀、各向同性的导热体，假定它内部有热源，并且与周围介质有热交换，求物体内部温度的分布.这里‘均匀’是指导热体的密度为常数，而‘各向同性’是指导热体内任一点处在各个方向上的传热特性相同.如导热体是由同一种金属构成的，就认为是具有各向同性性.导出方程设导热体在空间占据的区域为(如图1.3)，边界记为.导热体的密度为（千克/米3），比热为c（焦耳/度千克），热源强度为),,,(0tzyxf（焦耳/千克秒）.以),,,(tzyxu（度）表示导热体在时刻t点),,(zyx处的温度.任取一点),,(zyx，并取该点的一个充分小邻域G，G的边界为G.在充分小的时段21,tt上，区域G的热量变化满足下面的等量关系式(1.21):此式即为热力学第二定律的积分形式.完全类似于弦振动方程的推导过程，下面分别计算并简化(1.21)中各项.6从大学物理中我们知道，mcuQ.由于区域G充分小，时段21,tt也充分小，故可视u为常数，因而有21112(,,,)Qvcuxyzt（1.22）11111(,,,)Qvcuxyzt（1.23）01111(,,,)Wfxyztvt（1.24）其中Gzyx),,(111，211,ttt，v为区域G的体积，12ttt.为计算边界流入热量，要利用Fourier热定律：在一定条件下，导热体内热流量q（焦耳/米2秒）与温度的梯度成正比，即(,,)qkxyzu，其中(,,)kxyz为导热体内的导热系数，与介质的性态有关;负号表示热量从温度高处向温度低处流动.由于我们考虑的是均匀、各向同性的导热体，故(,,)xyz(,,)kxyzk均为正常数.利用高等数学中的通量计算公式可得()Gqndst,（1.25）这里n为G的单位外法向量，()n表示计算通过边界G的流入热量.假设u对空间变量具有二阶连续偏导数，对时间变量具有一阶连续偏导数，利用高斯公式可得()GqndstGkundstGukdstnGkudvttvtzyxuk),,,(1222,（1.26）Oxzy图1.37这里Gzyxuuuuzzyyxx),(,22,2.将（1.22）—（1.26）代入到（1.21）中并对等式左端利用微分中值定理可得11122221(,,,)(,,,)tcuxyztvtkuxyztvttvtzyxf),,,(11110.上式两边同除以tv,并令0,0tv得11(,,,)(,,,)tcuxyztkuxyzt01(,,,),fxyzt2111(,,,)(,,,)(,,,),tuxyztauxyztfxyzt由于1t的任意性可得2(,,,)(,,,)(,,,),tuxyztauxyztfxyzt（1.27）或简写为2,tuauf（1.28）其中cka2﹥0，),,,(1),,,(0tzyxfctzyxf.方程（1.28）刻划了导热体内温度分布和变化所服从的一般规律，人