初中趣味数学(4)

趣味数学_尺规作图一、对称图形1.在哪里建车站？如图：L表示一条公路，Ａ、Ｂ表示两个村庄，在公路L上建一个车站，使其到A、B两个村庄距离之和最近。LＡＢ比如扯个电网，修个公路、埋个管道，建个地铁等等，都是寸米寸金，为了节约资金，都要考虑尽量是总距离最短ABCEDP以AB、AC为边作等边三角形，则△ADC≌△ABE，∠ABE=∠ADC，所以A、D、B、P四点共园，又∠ABD=∠DAB=60°。∠APB=120°同理∠APC=120°以P为圆心PA为半径作弧交PD与F，则△ABP≌△ADF，BP=DFPA+PB+PC=PF+DF+PC=CDFP如果点P不在CA’上，将△ABP绕点B旋转60°到△A’P’B处，则PA=P’A’，PP’=PB，显然P’A’+P’P+PC＞A’C二、趣味数学1.盖绳圈小张和老王的性格相近，都很活泼，特别爱动，手不住脚不停。两人看见身边有什么小物件，就喜欢拿来摆弄。此刻小张手里拿着一个绳圈，老王手里拿着一个圆塑料瓶盖，正在忙得热闹。小张用三个指头轻轻一拨，绳圈就变了一个模样。老王用三个指头捏住瓶盖迅速送到绳圈上方，手指松开，瓶盖落下，恰好将绳圈完全盖住。小张移开瓶盖，将绳圈摆成另外一种花样，老王又拿瓶盖遮上去。如此继续，不厌其烦。每次总能盖得严严实实，不留半点绳圈在外。这使老王感到非常得意。小张不服，说老王的瓶盖太大，肯定能每次都完全盖住绳圈。如果有一次盖不全，一定是手脚太笨。如果换一个小些的瓶盖，就未必能成功了。老王逗小张说，每次都能盖住绳圈，是因为我的感觉好，目光准，出手快，一次到位。你说瓶盖太大，有什么根据？小张将绳圈抹平拉紧，放在桌上，成为两条首尾相接的重合线段，然后拿瓶盖来比试，重合线段的长度恰好能被瓶盖最宽处遮没。这就是证据，你那圆盘的直径都已经等于绳圈周长的一半了，还说不大？老王先是点头，说，不错，这是一个证据；紧接着又摇头，说，但是，这个证据的说服力不强。如果你能证明，不管你的绳圈摆弄成什么形状，这瓶盖都能将绳圈完全盖没，我就改用一只小盖子。小张如何来证明它呢？如图示，设绳圈的周长为2d，那么瓶盖的直径是d。又设A和B是绳圈上相对的两点，它们将绳圈分成长度相等的两部分。设O是AB的中点。那么，如果将瓶盖的中心放在O点，就一定能将绳圈完全盖住。老王听到这里，忍不住问道：有这等好事？为什么？小张继续说，设P是绳圈上任意一点，连结AP、BP、OP。如果A、B、P三点不在一直线上，那么OP是△ABP的中线。利用一道常见几何题的结论，在三角形ABP中，一边上的中线OP与另外两边AP、BP之间，成立不等式。如果三点A、B、P在一直线上，P与点A或B重合则。另一方面，因为半个绳圈APB的长度是d，其中从A到P的绳长大于或等于直线距离AP，从P到B的绳长大于或等于直线距离BP，所以AP＋BP≤d。综合以上结果，得到OP≤d.这就表明，绳圈上任意一点P到圆心O的距离都小于或等于圆半径，因而一定能被圆瓶盖遮没。2.矫正闹钟星期天，起床后发现闹钟停了，我估计了一下时间，就将闹钟的时针拨到7时整。然后，我离家步行到博物馆，这时看到博物馆楼顶上的电子钟在8时50分。我又游玩了一个半小时后从博物馆以同样的速度返回家中。到家后，看到闹钟指在11时50分。请问，这时我应将闹钟拨到何时才是准确的？我总共用去的时间为4小时50分（7∶00—11∶50），除去游玩的时间一个半小时，走路的时间应为3小时20分钟。因为来去时的步行时间相等，都为1小时40分钟，并且离开博物馆开始往家走的准确时间应为8∶50+1∶30=10∶20，所以回到家里的时间应为10∶20+1∶40=12。这时，应将闹钟拨到12时才是准确的。3.为什么少了一元？一天，班上决定组织春游，班主任张老师叫班长小明去买一些水果分给大家。小明买回来苹果和梨各15千克，苹果1元1千克，梨1元1.5千克，一共用去25元。小明把苹果和梨混在一起后分给大家，凡是交1元钱的就给1.25千克，凡是交2元钱的就给2.5千克。分完水果后，小明一数钱，发现少了1元，只有24元。为什么少了1元？请你帮小明找出原因。苹果每千克1元，梨每千克2/3元，混合后每千克（1+2/3）÷2=5/6元，而小明2.5千克只收2元，即每千克只收4/5元。这样，每千克少收5/6－4/5=1/30元。苹果和梨一共30千克，就少收了1元。4.谁是勒索者？海伦和她的丈夫赫尔穆特举行晚餐会，邀请的客人有：她的弟弟布莱尔和布莱尔的妻子布兰奇；她的姐姐希拉和希拉的丈夫舍曼；邻居诺拉和诺拉的丈夫诺顿。八人之中有一人是勒索者，其他七人之中有一人是勒索者的受害者。当他们全部在桌旁就坐的时候，受害者试图用切牛排的餐刀去刺勒索者，但没有成功。围绕桌子的坐位安排，如下图所示：(1)勒索者坐在坐位E。(2)受害者坐在坐位V。(3)每位男士坐在一位女士的对面。(4)每位男士坐在一位男士和一位女士之间。(5)勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。(6)男主人坐在受害者与女主人之间。(7)布莱尔坐在希拉与诺顿之间。(提示：在不考虑具体人物的情况下，判定人们坐位的各种可能安排；然后，通过逐步判定各个具体人物的坐位，把这些可能的安排减少到剩下唯一的一种。)运用(3)和(4)，经过反复试验，可得出人们围桌而坐的各种可能的坐位安排(M代表男士，W代表女士)：(3)每位男士坐在一位女士的对面。(4)每位男士坐在一位男士和一位女士之间。接着，根据(2)和(6)，Ⅱ和Ⅳ可排除，从而得到一部分坐位的安排情况如下：(1)勒索者坐在坐位E。(2)受害者坐在坐位V。(3)每位男士坐在一位女士的对面。(4)每位男士坐在一位男士和一位女士之间。(5)勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。(6)男主人坐在受害者与女主人之间。(7)布莱尔坐在希拉与诺顿之间。接着，根据(1)和(5)，Ⅰ可排除，这样部分坐位的安排情况必定如下(每条曲线连接着一对夫妇)：(1)勒索者坐在坐位E。(2)受害者坐在坐位V。(3)每位男士坐在一位女士的对面。(4)每位男士坐在一位男士和一位女士之间。(5)勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。(6)男主人坐在受害者与女主人之间。(7)布莱尔坐在希拉与诺顿之间。最后，根据(7)，布莱尔必定是勒索者的配偶；因此布兰奇是勒索者。全部的坐位安排如下图：(1)勒索者坐在坐位E。(2)受害者坐在坐位V。(3)每位男士坐在一位女士的对面。(4)每位男士坐在一位男士和一位女士之间。(5)勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。(6)男主人坐在受害者与女主人之间。(7)布莱尔坐在希拉与诺顿之间欣赏：自相似与分形几何学首先看到，在图的右边醒目位置，画了一个女孩。她正站在画板前面，神采奕奕，提笔作画（这是第一个女孩）。其次看到，女孩在画中所表现的，是她自己正在绘画的情形。所以她的画中有一位和她一模一样的女孩，正在摆着与她同样的姿势，站在画板前面，提笔作画（这是第二个女孩）。画中女孩画中的女孩，画的还是同样的画。所以，在画中女孩画中女孩的画里，同样有一个一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作同样的画（这是第四个女孩）。女孩画中的女孩，所画的当然也是她自己正在绘画的情形。所以，在画中女孩的画里，也有一位一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作画（这是第三个女孩）。在绘制同一幅图形的过程中，如果下一步产生的图形总是与上一步的图形相似，那么这种现象叫做自相似。上图就是一幅自相似的图形。只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去。起初，自相似现象偶尔被应用于广告或宣传画，用来吸引行人停足观看。后来发现，自然界中其实存在很多自相似现象。例如雪花的形成、树木的生长、土地干旱形成的地面裂纹等等。有一门新兴的数学分支，叫做分形几何学，对自相似图形进行了富有成效的研究。分形(Fractal)是它的创始人,美国数学家曼德勃罗教授(ProfessorBenoitMandelbrot)于1975年夏天一个寂静的夜晚,在冥思苦想之余翻看儿子的拉丁文字典时想到的,其拉丁文的原意是产生无规则的碎片.分形几何的一个性质叫做自相似性.请看如下的几个图形,他叫做科赫雪花曲线,从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个和整体全等的图形.分形几何欣赏另一种较复杂的分形图形称为朱利亚集,它是按照一定的数学原理在平面上构造的点集.朱利亚集具有异常美丽的形状,并且利用他可以模拟出山峰,云彩,湖泊等等自然景观,以下四个图形都是朱利亚集的图形.最千奇百怪的是曼德勃罗集,它的原始图形如下,从它出发,每一个细部都可以演绎出美丽无比的梦幻般的仙境似的图形.曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形.这个点集均出自公式:Zn+1=Z2n+C,这是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的.你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性.曼德勃罗教授称此为魔鬼的聚合物.为此,曼德勃罗在1988年获得了科学艺术大奖.请看如下的图形产生过程,其中后一个图均是前一个图的某一局部放大:如下是产生上图的出发点