§14.3-复变量的指数函数-·-欧拉公式--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教

＊§3复变量的指数函数·欧拉公式数学分析第十四章幂级数数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社设有复数项级数12(1)nuuuinnnuab,nnab其中每一项都是复数(为实数,i为虚数单位,1,2,,n1122(i)(i)(i).(2)nnababab以Sn表示(1)的前n项部分和,11,,nnnknkkkRaIb＊§3复变量的指数函数·欧拉公式复变量的指数函数·欧拉公式则(1)式可写成后退前进目录退出则有i.nnnSRI并记数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社limlim,nnnnRI若与存在若用A,B分别记这两个极限值,据此,级数(1)收敛的充要条件是:11nnnnab与都收敛.级数(1)各项un的模为22||,1,2,.nnnuabn＊§3复变量的指数函数·欧拉公式(1),则称级数收敛则级数(1)的和为A+iB.级数数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社若级数收敛,12||||||nuuu则称级数(1)绝对收敛.||||,||||,1,2,nnnnaubun可证得:设(1,2,)ncn为复数,z为复变量,2012(3)nncczczcz为复数项幂级数.在点z0收敛.数项幂级数(3)的收敛域.＊§3复变量的指数函数·欧拉公式由关系式若使得级数(3)收敛,则称其0zz所有使级数(3)收敛的全体复数构成复若级数(1)绝对收敛,则级数(1)必收敛.则称级数数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社记lim||,nnnc这时和§1实数项幂级数一样可证得:切满足1||,zz的不仅收敛1||,(3).zz切的级数发散＊§3复变量的指数函数·欧拉公式0R级数(3)的收敛半径(当时,;当原点为中心,R为半径的圆.0),R时则级数(3)的收敛范围是复平面上的以原1R用表示复数项幂级数(3)对一对一而且绝对收敛.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社例如级数21,(4)2!!nzzzn由于1lim||lim0,!nnnnncn故级数(4)的收敛半径,即(4)在整个复平面R上都是收敛的,.变量的指数函数ex定义为复变量z的指数函数ez,即2e1.(5)2!!nzzzzn＊§3复变量的指数函数·欧拉公式因此,我们也把级数(4)的和函数,当z为实变量x时,(4)的和函数为实数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函数:35211sin(1),(6)3!5!(21)!nnzzzzzn242cos1(1).(7)2!4!(2)!nnzzzzn它们的收敛域都是整个复平面.以iz代替(5)式中的z,＊§3复变量的指数函数·欧拉公式2i(i)(i)e1i2!!nzzzzn23451iii2!3!4!5!zzzzz24351i.2!4!3!5!zzzzz可得数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社联系(6)与(7)式,就有iecosisin.zzz当z为实变量x时,则得iecosisin,.xxxx这个公式给出了欧拉指数函数与三角函数之间的关系.＊§3复变量的指数函数·欧拉公式由于任一复数z都可写作(cos+isin)r(r为z的模,即||,argzrz为z的辐角),得复数的指数形式i(cosisin)e.zrr与实幂级数一样,由级数的乘法运算可得1212eee.zzzz当以izxy代入上式,则有iie=eeee(cosisin).zxyxyxyy那么由欧拉公式可