信号与系统实验五六

实验五通信1301王少丹201308030104实验原理与方法：1连续LTI系统的时域分析连续线性时不变系统的描述设连续线性时不变系统的激励为)(te，响应为)(tr，则描述系统的微分方程可表示为()()00()()nmijijijartbet(5.1)为了在Matlab编程中调用有关函数，我们可以用向量a和b来表示该系统，即],,,,011aaaann[a(5.2)],,,,011bbbbmm[b(5.3)这里要注意，向量a和b的元素排列是按微分方程的微分阶次降幂排列，缺项要用0补齐。(2)单位冲激响应单位冲激响应)(th是指连续LTI系统在单位冲激信号)(t激励下的零状态响应，因此)(th满足线性常系数微分方程(5.1)及零初始状态，即()()00()()nmijijijahtbt，()(0)0,[011]khk,,,n-(5.4)按照定义，它也可表示为)()()(tthth(5.5)对于连续LTI系统，若其输入信号为)(te，冲激响应为)(th，则其零状态响应()zsyt为()()()zsytetht(5.6)可见，)(th能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。一旦知道了系统的冲激响应)(th，就可求得系统对任何输入信号)(te所产生的零状态响应()zsyt。Matlab提供了专门用于求连续系统冲激响应的函数impulse()，该函数还能绘制其时域波形。其调用格式有impulse(b,a)impulse(b,a,t)impulse(b,a,t1:p:t2)y=impulse(b,a,t1:p:t2)：不绘制系统的冲激响应波形，只计算出对应的数值解单位阶跃响应单位阶跃响应()st是指连续LTI系统在单位阶跃信号)(tu激励下的零状态响应，它可以表示为()()()()tstuththd(5.7)上式表明，连续LTI系统的单位阶跃响应是单位冲激响应的积分，系统的单位阶跃响应和系统的单位冲激响应之间有着确定的关系，因此，单位阶跃响应也能完全刻画和表征一个LTI系统。另外，对于二阶以上的高阶系统，系统的阶跃响应和冲激响应也能反映系统处于不同阻尼状态下的系统特性。Matlab提供了专门用于求连续系统单位阶跃响应的函数step()，该函数还能绘制其时域波形。其调用格式有step(b,a)step(b,a,t)step(b,a,t1:p:t2)y=step(b,a,t1:p:t2)：不绘制系统的阶跃响应波形，只计算出对应的数值解任意激励下的零状态响应已经知道，连续LTI系统可用常系数线性微分方程(5.1)式来描述，Matlab提供的函数lsim()能对上述微分方程描述的连续LTI系统的响应进行仿真，该函数不仅能绘制指定时间范围内的系统响应波形图，而且还能求出系统响应的数值解。其调用格式有lsim(b,a,x,t)y=lsim(b,a,x,t)：只求出系统的零状态响应的数值解，而不绘制响应曲线其中b和a仍是式(5.2)和(5.3)所定义的向量，而x和t则表示输入信号的行向量及其时间范围向量。由于向量t中的采样时间间隔大小直接影响着仿真效果，所以要得到较好的仿真效果，采样时间间隔应取小一些。需要特别强调的是，Matlab总是把由分子和分母多项式表示任何系统都当作是因果系统。所以，利用impulse(b,a)，step(b,a)，lsim(b,a,x,t)函数求得的响应总是因果信号。同时，卷积积分也是LTI系统求解零状态响应的重要工具之一。假设系统的输入信号为)(te，单位冲激响应为)(th，则系统的零状态响应)(tr可由（5.6）式求解。卷积积分的运算实际上是用信号的分段求和来近似实现的。若有两个连续信号()et和()ht进行卷积，首先要对这两个信号进行采样，设采样时间间隔为，则采样后得到两个离散序列()ne和()hn，然后构造相应的两个时间向量n1和n2(n1和n2的元素不再是整数，而是采样时间间隔的整数倍)，接着调用计算离散卷积和的函数conv()计算连续卷积积分()rt的近似向量()rn。需要说明的是，函数conv()只能计算离散卷积和的数值，用函数conv()作两个信号的卷积积分时，应该在这个函数之前乘以时间步长方能得到正确的结果。也就是说，正确的语句形式应为：y=dt*conv(e,h)。对于定义在不同时间段的两个时限信号e(t)，t0≤t≤t1，和h(t)，t2≤t≤t3。如果用y(t)来表示它们的卷积结果，则y(t)的持续时间范围要比x(t)或h(t)要长，其时间范围为t0+t2≤t≤t1+t3。这个特点很重要，利用这个特点，在处理信号在时间上的位置时，可以很容易地将信号的函数值与时间轴的位置和长度关系保持一致性。根据给定的两个连续时间信号e(t)=u(t)-u(t-1)和h(t)=u(t)-u(t-1)，编写程序，完成这两个信号的卷积运算，并绘制它们的波形图，如图5-1所示。范例程序如下：%Thisprogramcomputestheconvolutionoftwocontinuou-timesignalsclear;closeall;t0=-2;t1=4;dt=0.01;t=t0:dt:t1;e=u(t)-u(t-1);h=u(t)-u(t-1);y=dt*conv(e,h);%Computetheconvolutionofx(t)andh(t)subplot(221)plot(t,e),gridon,title('Signale(t)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2])subplot(222)plot(t,h),gridon,title('Signalh(t)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2])subplot(212)t=2*t0:dt:2*t1;%thetimerangetotheconvolutionofeandh.plot(t,y),gridon,title('Theconvolutionofx(t)andh(t)'),axis([2*t0,2*t1,-0.1,1.2]),xlabel('Timetsec')图5-1信号及信号的卷积积分（5）任意激励下的全响应线性系统的全响应()yt可以分解为自由响应（齐次解）和强迫响应（特解），也-202400.51Signale(t)-202400.51Signalh(t)-4-20246800.51Theconvolutionofx(t)andh(t)Timetsec可以分解为零输入响应和零状态响应，即()()()()()hpzizsytytytytyt（5.8）Matlab提供了专门用于求连续系统全响应的函数dsolve()，其调用格式有dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…):解符号形式的微分方程，输入参数可以是n个微分方程，也可以是初始条件。值得注意的是，无论是输入参数还是输出参数都是符号形式的变量。2连续LTI系统的频域分析（1）系统的频率响应所谓频率响应（Frequencyresponse），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。连续LTI系统的时域及频域分析对应关系如图5-5所示。图5-5连续LTI系统的时域及频域分析对应关系上图中e(t)、r(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：()()*()rtxtht，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：()()()RjEjHj（5.9）或者：()()()RjHjEj（5.10）()Hj为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即()()jtHjhtedt（5.11）由于()Hj实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，()Ej()et()Rj()rt)(th()Hj系统LTI那么()Hj一定存在，而且()Hj通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：()()()jHjHje（5.12）上式中，(j)H称为幅频响应，反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，()称为相频响应，反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。由于()Hj和()都是频率的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。Matlab提供了专门用于求连续系统频率响应的函数freqs(),其调用格式如下：[H,w]=freqs(b,a)：b和a仍是式(5.2)和(5.3)所定义的连续时间LTI系统的微分方程右边的和左边的系数向量，返回的频率响应为各频率点的样点值（复数）存放在H中，系统默认的样点数目为200点；H=freqs(b,a,w)：在指定的频率范围内计算系统的频率响应特性。在使用这种形式的freqs函数时，要在前面先指定频率变量w的范围。例如在语句H=freqs(b,a,w)之前加上语句：w=0:2*pi/256:2*pi。Hm=abs(H)：求模数，即进行HHm运算，求得系统的幅度频率响应，返回值存于Hm之中。real(H)：求H的实部；imag(H)：求H的虚部；phi=atan(-imag(H)./(real(H)+eps))：求相频响应特性，atan()用来计算反正切值；或者phi=angle(H)：求相位频率相应特性；tao=grpdelay(b,a,w)：计算系统的相频响应所对应的群延时。（2）系统响应的频域求解方法对于一个系统，其频率响应为()Hj，其幅频响应和相频响应分别为(j)H和()，如果作用于系统的信号为0()jtete，则其响应信号为00000()(())000()()()()jtjjtjtrtHjeHjeeHje（5.13）若输入信号为正弦信号，即0()sin()ett，则系统响应为00000sin(()()|()|sin(()))rtHjHjtt（5.14）可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被()Hj加权，二是信号的相位要被()移相。若输入为周期信号，周期信号总可以展开成一系列的正弦信号的和的形式或者是一系列的虚指数信号的和的形式，周期信号展开式中的每次谐波所产生的响应都可由式（5.13）、（5.14）求出，总响应是基波和谐波产生的响应的和。若输入为非周期信号，可以先求得输入信号的频谱()Fj和系统的频率响应()Hj，由输入信号所产生的响应的频谱为()()()YjFjHj，再求傅里叶反变换即得响应()yt。3连续LTI系统的复频域分析利用拉普拉斯变换求解微分方程Laplace变换是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；同时，它将系统的初始状态自然地包含于象函数方程中，既可分别求得零输入响应和零状态响应，也可一举求得系统的全响应。描述n阶线性时不变连续系统的微分方程的一般形式为()()00()()nmijijijaytbft(5.18)式(5.18)中，()ft是因果激励，'(1)(0),(0),(0)nyyy为系统的n个初始状态。根据时域微分特性，式(5.18)的单边Laplace变换式为12'(1)010()(0)(0)(0)()()nmiiiijijijasYssysyyaYsbsFs12'(1)0100()(0)(0)(0)()mnjiiijijinniiiiiibsFsasysyyYsasas(5.19)零输入响应的s域表达式为12'(1)10(0)(0)(0)()niiiiiziniiiasysyyYsas