《数字图像处理》课件4上海交大-(全)

上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季第三章图像的二维正交变换§§11正交变换的矩阵表达正交变换的矩阵表达§§5K5K--LL变换变换(KLT)(KLT)§§222D2D--DFTDFT§§66哈尔变换哈尔变换§§332D2D--DCTDCT§§77小波变换小波变换§§44沃尔什沃尔什--哈达玛变换哈达玛变换(WHT)(WHT)§§88小波包和提升小波小波包和提升小波上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季§§11正交变换的矩阵表达正交变换的矩阵表达Ａ．可分离核与不可分离核Ａ．可分离核与不可分离核Ｂ．正交变换和酉变换Ｂ．正交变换和酉变换Ｃ．图像矩阵外积分解与基图像Ｃ．图像矩阵外积分解与基图像Ｄ．堆叠Ｄ．堆叠Ｅ．二维正交变换下的能量守恒Ｅ．二维正交变换下的能量守恒数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季本章中介绍的二维正交变换是指如下形式的变换：数字图像（空间域）∑∑−=−==1010),;,(),(),(MmNntsnmgnmftsF⎩⎨⎧−≤≤−≤≤1,01,0NtnMsm变换核变换域说明:(1)F(s,t)是f(m,n)的线性组合(2)F(s,t)也是大小为M×N的矩阵；(3)g(m,n;s,t)称为“变换核”(4)原图可用M×N矩阵表示，记作[f]或[f(m,n)](5)变换后得M×N系数矩阵F[(s,t)]M×NＡ．可分离核与不可分离核Ａ．可分离核与不可分离核数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季由于g(m,n;s,t)有4个变量，所以不能用矩阵表示（1）可分离核是指：g(m,n;s,t)=u(m,s)v(n,t)——可分别用矩阵表示（2）则:即：对图像f(m,n)先逐行做N点的一维正交变换，得到中间结果f’(m,t),再将f’(m,t)逐行做一维变换，得到F(s,t)（3）用矩阵表示：其中U为M×M方阵，V为N×N方阵1100(,)[(,)(,)](,)MNmnFstfmnvntums−−===∑∑0,10,1msMntN≤≤−≤≤−[][]TFUfV=可分离核(1,0)...(0,0)(1,0)(0,1)...............(0,1)(1,1)*......(,)TuuuMmuUuMuMMMMsusm⎡⎤−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦↓(0,1)...(0,0)(0,1)(1,0)...............(1,0)(1,1)*......v(,)vvvNtvVvNvNNNNnnt⎡⎤−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦↓数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•可分离核二维反变换核记作h(m,n;s,t)则反变换为：矩阵形式为：（U,V均有逆阵存在）∑∑−=−==1010),;,(),(),(MsNttsnmhtsFnmf11][)(][−−=VFUfT•不可分离核若变换核g(m,n;s,t)不可分解为u(m,s)v(n,t)即变换核不可分离情况，则可用“堆叠”的方法来解决数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•正交变换：若变换核的两个矩阵U，V均为正交阵，则此可分离变换称为正交变换。即：若则此可分离变换称为正交变换。•酉变换：若变换核为复数矩阵，且变换阵U，V为酉矩阵即：若则此可分离变换称为酉变换。**()()TTMMNNUUIVVI××⋅=⋅=NNTMMTIVVIUU××=⋅=⋅Ｂ．正交变换和酉变换Ｂ．正交变换和酉变换数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季11*1(1)()()()(2)1(3)(4)(5)1(6)TTTUUUUUUUUUUUUVUVUUUabUaabi－－－若为正交阵，则＝求逆＝转置若为酉矩阵，则＝求逆＝共轭转置若为正交阵或酉矩阵，则的各行、各列向量的模为。若为酉矩阵，则和也是酉矩阵若，为同阶酉矩阵，则也是酉矩阵若是酉矩阵，则其行列式的模为＝若是酉矩阵，是向量，作变换＝，则向量的模＝即向量经过酉矩阵变换后，其长度不变例：有图像变换11**[][][]()[](1)[][]()(2)[][]TTTTFUfVfUFVfUFVfUFV−−==＝，其反变换为：利用性质若变换为酉变换，则＝若变换为正交变换，则正交矩阵和酉矩阵的性质数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季Ｃ．图像矩阵Ｃ．图像矩阵[f][f]的外积分解与基图像的概念的外积分解与基图像的概念1.矢量的外积：2.图像矩阵的外积分解：对酉变换的反变换式可写作：把[F]分解成M×N个矩阵求和的形式，使每个分矩阵中只有一个非零元素*0******101-1*1[][]([][]TTTMTNvvfUFVuuuFv−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦）＝11TMNMaNbabMN×××维矢量和维矢量的外积是一个矩阵数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季(0,0)(0,1)(0,1)(1,0)[](1,0)(1,1)(0,0)00000(0,1)0000000000000FFFNFFFMFMNFF…−⎡⎤⎢⎥………………………⎢⎥=⎢⎥……………………………⎢⎥−……−−⎣⎦…………………………⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎢…………………………………………⎢⎥⎢⎢⎥⎢………………………………………………⎢⎥⎢⎢⎥⎢…………………………………………⎣⎦⎣＝＋000000000(1,1)FMN…………………⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎢⎥……………………⎥⎢⎥……⎥⎢⎥………………………⎥⎢⎥⎥⎢⎥………−−⎦⎣⎦＋＋即分解为：数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季*0*11***0100*1()00(,)()00()tTMNTsMstTNvuuuFstvv−−−==−⎡⎤⎢⎥…⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=……⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥…⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑11**00(,)MNTststFstuv−−====∑∑110011**0000[](,)0000[](,)()00MNstMNTstFFstfUFstV−−==−−==⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑即则数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•外积为M×N矩阵，它表示了变换系数F(s,t)对f(m,n)每个位置上值的“贡献”，可看成是第“s,t”个“基图像”•图像阵列[f]是基图像加权求和的结果，F(s,t)是基图像的加权因子•图像变换的过程就是把图像分解为许多“基图像”的加权和的过程-正变换即求这些权值-反变换即“基图像”合成原图的过程•固定基图像&可变基图像3.基图像**Tstuv数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季Ｄ．堆叠Ｄ．堆叠对于二维正交变换表达式：∑∑−=−==1010),;,(),(),(MmNntsnmgnmftsF•当变换核不可分离时，g(m,n;s,t)无法用矩阵来表示•在变换核不可分离情况下，可借助“堆叠”技术来用矩阵表示变换式•堆叠的定义：把M×N大小的二维图像[f]按行的顺序逐行首尾相接，联成一个M×N维的列向量f的过程⋅TFGf⎡⎤=⎣⎦数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季E.二维正交变换下的能量守恒如果变换核是可分离的，且变换矩阵为正交矩阵或酉矩阵，那么正、反变换可表示为：则有：即空间域和变换域中信号能量相等。TTVFUfVfUF**][][][][==∑∑∑∑−=−=−=−==1010210102),(),(MsNtMmNntsFnmf数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季证明：用矩阵形式来表示空间域能量，即：同理，变换域能量可表示为：将代入上式，并根据酉矩阵性质，得：由求迹运算的性质：令，，则：所以，空间域和变换域中信号的能量守恒。[][]{}11*200(,)MNTrmnfmnTff−−===∑∑[][]{}11*200(,)MNTrstFstTFF−−===∑∑VfUFT][][=[][]{}[][]{}11*2**00(,)()()MNTTTTTrrstFstTUfVUfVTVffV−−====∑∑{}{}BATABTrr=AVT=[][]BVffT=**[][]{}[][]{}1111**22*0000(,)(,)MNMNTTTrrstmnFstTffVVTfffmn−−−−=======∑∑∑∑上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季§§22二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换(2D(2D--DFT)DFT)A.A.定义定义B.B.矩阵表示矩阵表示C.C.性质性质数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季A.A.定义定义()fx1.1D连续情况：若连续可积正变换反变换2.2D连续情况：正变换反变换dxuxjxfuF)2exp()()(π−=∫∞∞−()()exp(2)fxFujuxduπ∞−∞=∫(,)(,)exp[-2()]Fuvfxyjuxvydxdyπ+∞−∞=+∫∫(,)(,)exp[2()]fxyFuvjuxvydudvπ+∞−∞=+∫∫3.2D离散情况：正变换反变换-1-1001(,)(,)exp-2()MNmnsmtnFstfmnjMNMNπ==⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑-1-1001(,)(,)exp2()MNstsmtnfmnFstjMNMNπ==⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•由复指数性质：可知DFT有变换核可分离性，即：-1-10011(,)(,)exp-2exp-2NMnmsmtnFstfmnjjMNNMππ==⎡⎤⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑-1-10011(,)(,)exp2exp2NMtssmtnfmnFstjjMNNMππ==⎡⎤⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑[]exp()exp()exp()jABjAjB+=i数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季B.B.矩阵表示矩阵表示12(M-1)MMMT242(M-1)MMM(M-1)2(M-1)(M-1)(M-1)MMMMM11111=1×⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(N-1)NNN242(N-1)NNN(N-1)2(N-1)(N-1)(N-1)NNNNN11111=1×⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦记则2D-DFT正变换的矩阵形式为：[F]=[U]T[f][V]exp(2/)MWjMπ=−exp(2/)NWjNπ=−其中，行、列变换矩阵[U]T和[V]分别如下注意[U]为M×M，[V]为N×N[U]和[V]都是对称阵:[U]T=[U],[V]T=[V][U][V]又都是酉矩阵:[U][U]*T=IM,[V][V]*T=IN所以，反变换可写为：[f]=[U]*[F][V]*正变换则可写为：[F]=[U][f][V]数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季C.性质1.线性，酉变换，核可分离2.周期循环性由定义式可知：F(s+kM,t+lN)=F(s,t)f(m+kM,n+lN)=f(m,n)f(m,n)和F(s,t)都有两个方向上的周期性，周期分别为M和N。•••••••••