2018北京文科数学及解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A={(𝑥||𝑥|2)},B={−2,0,1,2},则AB（A）{0,1}（B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2}（D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A）32f（B）322f（C）1252f（D）1272f（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4（7）在平面直角坐标系中，,,,ABCDEFGH是圆221xy上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若tancossin，则P所在的圆弧是（A）AB（B）CD（C）EF（D）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},Axyxyaxyxay则（A）对任意实数a，(2,1)A（B）对任意实数a，（2,1）A（C）当且仅当a0时,（2,1）A（D）当且仅当32a时,（2,1）A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若()maab，则m=_________.（10）已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线24yax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.（11）能说明“若a﹥b，则11ab”为假命题的一组a，b的值依次为_________.（12）若双曲线2221(0)4xyaa的离心率为52，则a=_________.（13）若𝑥,y满足12xyx，则2y−𝑥的最小值是_________.（14）若ABC△的面积为2223()4acb,且∠C为钝角，则∠B=_________；ca的取值范围是_________.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）设{}na是等差数列，且123ln2,5ln2aaa.（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）求12eeenaaa.（16）（本小题13分）已知函数2()sin3sincosfxxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）若()fx在区间[,]3m上的最大值为32，求m的最小值.（17）（本小题13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.（19）（本小题13分）设函数2()[(31)32]exfxaxaxa.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若()fx在1x处取得极小值，求a的取值范围.（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若1k，求||AB的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点71(,)44Q共线，求k.2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题（1）A（2）D（3）B（4）B（5）D（6）C（7）C（8）D二、填空题（9）1（10）(1,0)（11）11（答案不唯一）（12）4（13）3（14）60(2,)三、解答题15．（共13分）解：（I）设等差数列{}na的公差为d，∵235ln2aa，∴1235ln2ad，又1ln2a，∴ln2d.∴1(1)ln2naandn.（II）由（I）知ln2nan，∵ln2ln2eee=2nnann，∴{e}na是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln2eeeeeennaaa2=222n1=22n.∴12eeenaaa1=22n.16.（共13分）解：（Ⅰ）1cos23311π1()sin2sin2cos2sin(2)2222262xfxxxxx，所以()fx的最小正周期为2ππ2T.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62fxx.因为π[,]3xm，所以π5ππ2[,2]666xm.要使得()fx在π[,]3m上的最大值为32，即πsin(2)6x在π[,]3m上的最大值为1.所以ππ262m，即π3m.所以m的最小值为π3.17.（共13分）（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，故所求概率为500.0252000.（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为37210.8142000.方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得16280.8142)00(0PB.（Ⅲ）增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.18.（共14分）【解析】（Ⅰ）∵PAPD，且E为AD的中点，∴PEAD.∵底面ABCD为矩形，∴BCAD∥，∴PEBC.（Ⅱ）∵底面ABCD为矩形，∴ABAD.∵平面PAD平面ABCD，∴AB平面PAD.∴ABPD.又PAPD，∴PD平面PAB，∴平面PAB平面PCD.（Ⅲ）如图，取PC中点G，连接,FGGD.∵,FG分别为PB和PC的中点，∴FGBC∥，且12FGBC.∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴1,2EDBCDEBC∥，∴EDFG∥，且EDFG，∴四边形EFGD为平行四边形，∴EFGD∥.又EF平面PCD，GD平面PCD，∴EF∥平面PCD.19.（13分）解：（Ⅰ）因为2()[(31)32]exfxaxaxa，所以2()[(1)1]exfxaxax.2(2)(21)efa，由题设知(2)0f，即2(21)e0a，解得12a.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得2()[(1)1]e(1)(1)exxfxaxaxaxx.若a1，则当1(,1)xa时，()0fx；当(1,)x时，()0fx.所以()fx在x=1处取得极小值.若1a，则当(0,1)x时，110axx，所以()0fx.所以1不是()fx的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1,).方法二：()(1)(1)exfxaxx.（1）当a=0时，令()0fx得x=1.(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(,1)1(1,)()fx+0−()fx↗极大值↘∴()fx在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a0时，令()0fx得121,1axx.①当12xx，即a=1时，2()(1)e0xfxx，∴()fx在R上单调递增，∴()fx无极值，不合题意.②当12xx，即0a1时，(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(,1)11(1,)a1a1(,)a()fx+0−0+()fx↗极大值↘极小值↗∴()fx在x=1处取得极大值，不合题意.③当12xx，即a1时，(),()fxfx随x的变化情况如下表：x1(,)a1a1(,1)a1(1,)()fx+0−0+()fx↗极大值↘极小值↗∴()fx在x=1处取得极小值，即a1满足题意.（3）当a0时，令()0fx得121,1axx.(),()fxfx随x的变化情况如下表：x1(,)a1a1(,1)a1(1,)()fx−0+0−()fx↘极小值↗极大值↘∴()fx在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为(1,).20．（共14分）【解析】（Ⅰ）由题意得222c，所以2c，又63cea，所以3a，所以2221bac，所以椭圆M的标准方程为2213xy．（Ⅱ）设直线AB的方程为yxm，由2213yxmxy消去y可得2246330xmxm，则2223644(33)48120mmm，即24m，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则1232mxx，212334mxx，则222212121264||1||1()42mABkxxkxxxx，易得当20m时，max||6AB，故||AB的最大值为6．（Ⅲ）设11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，44(,)Dxy，则221133xy①，222233xy②，又(2,0)P，所以可设1112PAykkx，直线PA的方程为1(2)ykx，由122(2)13ykxxy消去y可得2222111(13)121230kxkxk，则2113211213kxxk，即2131211213kxxk，又1112ykx，代入①式可得13171247xxx，所以13147yyx，所以1111712(,)4747xyCxx，同理可得2222712(,)4747xyDxx．故3371(,)44QCxy，4471(,)44QDxy，因为,,QCD三点共线，所以34437171()()()()04444xyxy，将点,CD的坐标代入化简可得12121yyxx，即1k