第5章状态反馈控制器及状态观测器

1第5章状态反馈和状态观测器2目前为止，我们已经：建立了系统的状态空间模型提出了基于状态空间模型的系统的运动分析探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性“认识了世界”⇒如何来“改变世界”？！设计控制系统！系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制3控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征值（即闭环极点）决定。基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有期望的动态特性。经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入；现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征，故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈。4由于采用了状态方程描述系统，所以可以采用状态变量由于采用了状态方程描述系统，所以可以采用状态变量进行反馈。进行反馈。由于状态空间描述了系统内部信息的传递关系，比微分由于状态空间描述了系统内部信息的传递关系，比微分方程、传递函数等外部描述更深入地揭示了系统的动态方程、传递函数等外部描述更深入地揭示了系统的动态特性，所以，采用状态反馈比采用输出反馈具有更好的特性，所以，采用状态反馈比采用输出反馈具有更好的控制特性。控制特性。采用状态反馈不但可以实现闭环系统的特征值任意配采用状态反馈不但可以实现闭环系统的特征值任意配置，而且也是实现系统解耦和构成线性最优调节器等的置，而且也是实现系统解耦和构成线性最优调节器等的主要手段。主要手段。状态反馈和状态观测器设计是各种现代控制设计方法的状态反馈和状态观测器设计是各种现代控制设计方法的基础。基础。5第5章状态反馈和状态观测器5.1状态反馈与输出反馈5.2状态反馈设计方法5.3状态观测器5.4带观测器的状态反馈控制器设计5.5MATLAB应用65.1.1状态反馈5.1.2输出反馈5.1.3状态反馈系统的能控性与能观性5.1.4状态反馈对传递函数的影响5.1状态反馈与输出反馈7给定线性定常被控系统：xAxBuyCxDu=+=+&选取状态反馈控制律为：-uvKx=状态反馈（增益）矩阵r×n参考输入，r×1维矩阵5.1.1状态反馈5.1状态反馈与输出反馈1、定义：将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端，与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。8代入可得，状态反馈系统：(-)(-)xABKxBvyCDKxDv=+=+&2、基本结构∫vuBCyDAK+—x&x闭环状态反馈系统原系统Kxvu−=状态反馈控制律：9状态反馈状态反馈————就是将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数，就是将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数，反馈到输入端反馈到输入端,,与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。v10(-)xABKxBvyCx=+=&若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则：比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但通过K的选择，可以自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能.此时对应的传递函数矩阵为：()()[]BBKAsICsGk1−−−=0)(=+−=BKAIaλλ特征方程：111、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的控制输入。2、基本结构（控制输入不直接作用到输出，即D=0）Hyvu−=输出反馈控制律为:输出反馈系统输出反馈矩阵r×m用输出信号5.1.2输出反馈5.1状态反馈与输出反馈12输出反馈系统的状态空间表达式为：()HyvBAxBuAxx−+=+=&Cxy=()BvxBHCABHCxBvAx+−=−+=∴输出反馈中的HC与状态反馈中的K相当；但H可供选择的自由度远比K小（因m小于n）；∴输出反馈一般只能相当于部分状态反馈。只有当HC=K时，输出反馈等同于全状态反馈。对应的传递函数矩阵为：13在不增加补偿器的条件下，输出反馈改变系统性能的效果不如状态反馈好，不能任意配置系统的全部特征值；输出反馈在技术实现上很方便；而状态反馈所用的系统状态可能不能直接测量得到（需要状态观测器重构状态）。优点缺点与状态反馈相比较，输出反馈：（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之则不然。）14闭环系统的能控性与能观性2、定理：输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性。1、定理：状态反馈不改变受控系统的能控性；但不保证系统的能观性不变。状态反馈可以任意改变系统传函的极点，但不能改变其零点，故可能出现零极点相消，导致能观性的改变。5.1.3状态反馈系统的能控性与能观性151.1.状态反馈系统的能控性状态反馈系统的能控性2.2.状态反馈系统的能观性状态反馈系统的能观性虽然状态反馈保持了动态方程的能控性，但往往会破坏动态虽然状态反馈保持了动态方程的能控性，但往往会破坏动态方程的能观性。方程的能观性。定理：输出反馈闭环系统能控的充要条件是被控系统能控；输定理：输出反馈闭环系统能控的充要条件是被控系统能控；输出反馈闭环系统能观的充要条件是被控系统能观。出反馈闭环系统能观的充要条件是被控系统能观。5.1.3状态反馈系统的能控性与能观性{}CBA,,0=∑()()()()utvtKtxt=−{},,KABKBC∑=−定理：多变量线性系统（定常的或时变的）定理：多变量线性系统（定常的或时变的），，在任何形如在任何形如的状态反馈下，状态反馈闭环系的状态反馈下，状态反馈闭环系统统完全能控的充要条件是被控对象完全能控。完全能控的充要条件是被控对象完全能控。165.1.4状态反馈对传递函数的影响系统的传递函数为系统的传递函数为cxybuAxx=+=&[]01210110100010,00101nnnAbaaaacccc−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦=LMMOOMLLL01110111)(asasascscscsGnnnnn+++++++=−−−−LL若某能控系统若某能控系统经线性变换为能控标准型：经线性变换为能控标准型：17设状态反馈阵为[]nkkkKL21=则状态反馈系统的传递函数为引入状态反馈引入状态反馈则闭环系统的动态方程为则闭环系统的动态方程为uvKx=−()xAbKxbvycx=−+=&)()()()(1021110111kaskaskascscscsGnnnnnn−+−++−++++=−−−−LL引入状态反馈改变了系统的极点，但没有改变系统的零点。引入状态反馈改变了系统的极点，但没有改变系统的零点。结论：结论：18例、试分析引入状态反馈前后系统的能控性和能观性。[]xyuxx10100110.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=[]20110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rankAbbrank能控20110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡rankCACrank能观解：1）判断原系统的能控性，能观性。[]01=K19Kxvu−=[]01=K2）引入状态反馈：bVxbKAx+−=)(.Cxy=则：可得：[]20110'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rankbAbrank能控10010'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡rankCACrank不能观！引入状态反馈后出现了零极点对消。则：20例设线性定常系统的状态空间模型为[]12031112⎡⎤⎡⎤′=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=xxuyx并设状态反馈阵K=[31]和输出反馈F=2。¾分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈闭环系统的状态能控/能观性。21解1：开环系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为nCACnABB==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=24721rankrank21120rank]rank[开环系统为状态能控又能观的。开环系统为状态能控又能观的。2.2.经状态反馈经状态反馈uu==vv--KxKx后的闭环系统的状态方程为后的闭环系统的状态方程为120()001ABKB⎡⎤⎡⎤′=−+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦xxvxv22所以状态反馈闭环系统为状态能控但不能观的,即状态反馈可能改变系统的状态能观性。02rank[()]rank21012rankrank1()12BABKBnCnCABK⎡⎤−===⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦120()131ABFCB⎡⎤⎡⎤′=−+=+⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦xxvxv其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为3.经输出反馈u=v-Hy后的闭环系统的状态方程为23所以输出反馈闭环系统为状态能控又能观的。02rank[()]rank21-3BABFCBn⎡⎤−===⎢⎥⎣⎦其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为12rankrank2()3-4CnCABFC⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦24第5章状态反馈和状态观测器5.1状态反馈与输出反馈5.2状态反馈设计方法5.3状态观测器5.4带观测器的状态反馈控制器设计5.5MATLAB应用255.2状态反馈设计方法系统性能：稳态性能和动态性能稳态性能：稳定性、静态误差动态性能：调节时间、响应速度、超调...影响系统稳定性、动态性能的因素：极点位置（系统矩阵的特征值）通过反馈控制器的设计，可使得闭环系统的极点位于预先给定的期望位置。265.2.1极点配置问题5.2.2输出反馈实现极点配置5.2状态反馈设计方法275.2状态反馈设计方法定义：通过选择反馈增益矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。5.2.1极点配置问题极点配置定理：线性（连续或离散）多变量系统能任意配置极点的充分必要条件是，该系统状态完全能控。28极点配置的方法：一、采用状态反馈(Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是：此被控系统状态完全能控。(Ⅱ)方法：单输入单输出线性定常系统的状态方程为：若线性反馈控制律为：x=Ax+Bu&-uvKx=29选择状态反馈增益矩阵使系统的特征多项式等于期望的特征多项式，即det[λ()]IAbK−−)(*λf*det[λ()]()IAbKfλ−−=按指定极点配置设计状态反馈增益阵的基本方法：按指定极点配置设计状态反馈增益阵的基本步骤按指定极点配置设计状态反馈增益阵的基本步骤1111nPPAPPA−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M[]111001nCCSbAbAbPS−−⎡⎤=⎣⎦=LL(2)求能控标准型的变换矩阵P(1)判断系统能控性304）根据指定的闭环极点求出期望的闭环特征多项式0111]det[)(aaaAIfnnn++++=−=−−λλλλλL*0*111)(aaafnnn++++=−∗−∗λλλλL[]∗−−∗∗−−−=111100nnaaaaaaKLPKK=urKx=−3）求出被控对象的特征多项式77）状态反馈下的控制律为）状态反馈下的控制律为66）求定状态的反馈增益阵）求定状态的反馈增益阵5)写出对于能控标准型下的状态反馈增益阵31例1：试设计如图所示系统中的状态反馈增益阵K，使闭环系统的特征值为100,07.707.732,1−=±−=λλj解解:(1):(1)判断系统是否可控。判断系统是否可控。系统的状态空间表达式为系统的状态空间表达式为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=6001120010A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100b[]001=c32336611810100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=rankrankSC⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−001011816721cS11[001][100]CPS−==11211000100121PPPAPA⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦因为系统能控，可以任意配置极点。(2(2）计算系统的非奇异变换阵）计算系统的非奇异变换阵PP33λλλλλλλλλλλ7218)6)(12(600112001det)det()(23++=++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−+−=−=AIf182=a721=a00=a（3）确定系统的特征多项式349997151414.114)100)(07.707.7)(07.707.7()(23+++=+++−+=∗λλλλλλλjjf14.114*2=a1514*