一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2016年中考专题复习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回顾与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进行有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q=0的根是x1和x2，则x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②已知方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5)常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0(2)9x2+6x+1=0(3)16x2+8x=–3(4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0(6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)若关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集（用含a的式子表示）．【例3】(1)已知关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)已知方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求下列式子的值：①(x1–3)(x2–3)②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。【例6】(1)已知：x1、x2是方程x2–x+a=0的两个实数根，且1x12+1x22=3，求a的值.(2)关于x的方程kx2+(k+1)x+k4=0有两个不相等的实数根.①求k的取值范围；②是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.一、填空题1.如果x1、x2是一元二次方程02x6x2的两个实数根，则x1+x2=_________.2.一元二次方程03xx2两根的倒数和等于__________.3.关于x的方程0qpxx2的根为21x,21x21，则p=______，q=____.4.若x1、x2是方程07x5x2的两根，那么_______________xx2221，.________)x(x2215.已知方程0kxx2的两根之比为2，则k的值为_______.6.已知21x,x为方程01x3x2的两实根，则.__________20x3x2217.方程02x5x2与方程06x2x2的所有实数根的和为___________.8.关于x的方程01x2ax2的两个实数根同号，则a的取值范围是__________.二、选择题9.已知a、b是关于x的一元二次方程01nxx2的两实数根，则式子baab的值是（）A.2n2B.2n2C.2n2D.2n210.以3和—2为根的一元二次方程是（）A.06xx2B.06xx2C.06xx2D.06xx211.设方程0mx5x32的两根分别为21x,x，且0xx621，那么m的值等于（）A.32B.—2C.92D.—9212.点P（a,b）是直线y=—x+5与双曲线x6y的一个交点，则以a,b两数为根的一元二次方程是（）A.06x5x2B.06x5x2C.06x5x2D.06x5x213.已知0)2m2()x1(mx2两根之和等于两根之积，则m的值为（）A.1B.—1C.2D.—214.设α、β是方程07201xx2的两个实数根，则βαα22的值为（）A．2014B.2015C.2016D.2017三、解答题15.不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积.（1）05x3x2（2）05x52x216.已知x1、x2是一元二次方程0m31x22x2的两个实数根，且x1、x2满足不等式0)(22121xxxx，求实数m的取值范围.17.已知实数a、b满足等式012,01222bbaa，求baab的值.18.若ab≠1,且有0562019096201522bbaa，求ba的值.19.已知关于x的方程0141)1(22kxkx的两根是一个矩形两邻边的长。（1）k为何值时，方程有两个实数根；（2）呈矩形的对角线长为5时，求k.20.已知关于x的一元二次方程01422mxx有两个非零实数根.（1）求m的取值范围；（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由.