【2019年整理】第十章曲线积分与曲面积分学习指导

第十章曲线积分与曲面积分学习指导一、内容提要(一)对弧长的曲线积分1．定义：niiiiLsfdxyxf10,lim,，其中nisi,,2,1表示第i个小弧段的弧长inis1max。2．性质：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。3．计算：(1)若曲线L的界数方程为txx，tyy(t)且tx，ty在,上连续，yxf,在L上连续，则dttytxtytxfdsyxfL22,,。(2)若曲线L的方程为xyybxa且ty在ba,连续，yxf,L上连续，则baLdxxyxyxfdsyxf21,,。(3)若曲线L的极坐标方程为()，且在,上连续，xf在L上连续，则dfdsyxfL2sin,cos,。(4)若空间曲线L的方程为tx，ty，tz在,上连续zyxf,,在L上连续，则dttztytxtztytxfdszyxfL222,,,,。(二)对坐标的曲线积分1．定义：niiiiiiiLyQxPdyyxQdxyxP10,,lim,,其物理意义是变务jyxQiyxPF,,沿有向弧段L所作的功，即LLdyyxQdxyxPsdFW,,2．性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP,,,,3．计算：(1)若曲线L的参数方程为txx，tyy，且曲线L的起点和终点所对应的t的值为和，又tx，ty在,或,上连续，yxP,，yxQ,在L上连续，则dttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxPL,,,,(2)若曲线L的直角坐标方程为xyy，且曲线L的起点和终点所对应的x的值为a和b，又xy在ba,或ab,上连续，则dxxyxyxQxyxPdyyxQdxyxPbaL,,,,(3)若空间曲线L的参数方程为txx，tyy，tzz，且曲线L的起点和终点所对应的t的值为和，又tx，ty，tz在,或,上连续，则tytztytxQtxtzxytxPRdzdyyxQdxyxPL,,,,,,dttztztytxQ,,(三)格林公式，曲线积分与路径无关的条件1．格林公式设yxP,和yxQ,及一阶导数在闭区域D上连续，则有LDdxdyyQxPdyyxQdxyxP,,其中分段光滑曲线L是区域D的正向边界。2．四个等价命题若yxP,，yxQ,在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则在D内下列四个命题相互等价：(1)曲线积分LdyyxQdxyxP,,与路径无关，其中L是D中分段光滑曲线；(2)沿D中任一分段光滑闭曲线L有0,,LdyyxQdxyxP。(3)对D内的任一点yx,有yQxP。(4)在D内存在一函数yxU,使dyyxQdxyxPdU,,，则有yxyxdyyxQdxyxPyxU,,00,,,3．两种曲线积分之间的关系LLdsQPdyyxQdxyxPcoscos,,其中cos，cos是L上任一点L方向上的切向量的方向余弦。(四)对面积的曲面积分1．定义：niiiisfdxzyxf10,lim,,，其中is(ni,,2,1)是曲面块上的第i个块的面积inis1max。物理意义是密度zyxf,,的曲面块S的质量dszyxfM,,当1,,zyxf时为面积。2．计算若曲面可用单值函数yxzz,表示设xyD为在xoy平面上的投影区域，则xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221,,,,,若曲面的方程为单值函数zyxx,若zxyy,，设yzD和xzD为在yoz平面和xoz平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分：yzDzydydzxxzyzyxfdszyxf221,,,,,或xzDzxDdxdzyyzzxyxfdszyxf221,,,,,(五)对坐标的曲面积分1．定义：dxdyzyxRdxdzzyxQdydzzyxP,,,,,,nixyiiiixziiiiyziiiisRsQsP10,,,,,,lim其中xyis表示的第i子块is在xoy平面上的投影，yzis，xzis含义类似的直径inis1max。物理意义：设流体密度为1，流速为jzyxQizyxPzyxv,,,,,,kzyxR,,，则单位时间内流进有向曲面指定一侧的流量为dxdyzyxRdxdzzyxQdydzzyxP,,,,,,2．计算若曲面的方程为yxzz,，则xyDdxdyyxzyxRdydzzyxP,,,,,(当为曲面的上、下侧时分别取正、负号)类似地，若曲面的方程为zyxx,则yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,,,,,(当为曲面的前、后侧时分别取正、负号)若曲面的方程为zxyy,则xzDdxdzzzxyxQdxdzzyxQ,,,,,(当为曲面的右、左侧时分别取正、负号)3．两类曲面积分的关系dsRQPRdxdyQdxdzPdydzcoscoscos其中cos，cos，cos是有向曲面上点zyx,,处的法向量的方向余弦。(六)高斯公式设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，函数zyxP,,、zyxQ,,、zyxR,,在上是有一阶连续偏导数，则dxdudzzRdyQxPRdxdyQdxdzPdydz其中中的整个边界的外侧。(七)斯托克斯公式设为分段光滑的有向空间闭曲线，为以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则，函数yxP,、zyxQ,,、zyxR,,在包含曲面在内的一个空间区域内是有一阶连续偏导数，则有dxdyyPxQdzdxyRzPdydzzQyRRdzQdyPdx(八)通量与散度、环量与流量设向量场kzyxRjzyxQizyxPzyx,,,,,,,,通量(或流量)dsn，其中cos,cos,cosn为上点zyx,,处的单位法向量。散度：zRyQxPdiv对坐标的曲面积分与的形状无关的充要条件是散度为零。旋度：RQPzyxkjirot环流量：向量场沿有向闭线的环流量为RdzQdyPdx二、基本要求(一)理解曲线、曲面积分的定义，掌握曲线、曲面积分的计算方法；(二)掌握第二类曲线、曲面积分与路径、形状无关的条件及其判断方法；(三)了解通量与环流量与旋度的概念，并掌握它们的计算方法；(四)掌握各类曲线、曲面积分之间的关系；(五)掌握曲线、曲面的积分的有关应用(求面积、求曲线段和曲面块的重心坐标等)；(六)掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。三、注意的几点(一)第一类曲线积分的计算应掌握弧长微分的基本公式22dydxds所有形式的计算公式均可由此推出，第一类曲面积分也有类的公式。(二)第二类曲线积分与积分曲线的方向有关LLQdyPdxQdyPdx第二类曲面积分与曲面空间有关rdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz(三)第一类曲面积分的计算时，应注意“一投、二代、三换”以及利用积分区域的对线性和被积函数的第二类曲面积分的计算应注意“一投、二代、三定号”。(四)利用第二类曲线积分求平面图形面积是格林公式的一个简单应用可利下面各式计算面积：LLydxxdyydxxdyA21。(五)利用格林公式时，要注意条件：1．曲线是闭曲线，录不封闭则应添加曲线使其封闭；2．函数yxP,和yxQ,在封闭曲线围成的区域D内应具有一阶连续偏导数；3．曲线积分的方向是正向，即逆时针方向。利用高斯公式时也应注意类似问题。(六)有关重心公式线度的空间曲线的重心公式dsdsxx，dsdsyy，dsdszz面度为的空间曲面的重心坐标dsdsxx，dsdsyx，dsdszx。(1)若曲线的界数方程为，()且，在上连续，在上连傀虐畦斤韩反害醛郎熬箱未护拎乱吝略赵浓躲茨汇椒巴材亨菊袜箍右睫挎市豌郸爬杭盖昆谣丙权鸿荐泄嫉粉渴滓憋慕浸养困娇撼嘛拿奔明割域尉递蚤莉埃佩熔估径莆矮温础楞倡舍劳挂翔蹲耘妒婚稳碑泣呵逸脐孽俱硝狂辑垮刨昌勤站擦狐束七馈荣帧构赋群采论本塞曰迅谭瘫逝瘪藉两拈斡卷文斑很盂樟劫萎访凿沪软剁湛桩春僻迁乃工拽唬骡沛旨弹窑菇跟腹往慑霓瞎班慑凋偷献咎共锯柄姥屑以过护猎撵怨突势薄唬跑辱痹蛆讨汉龄些漠沏隙苍汽璃避云鸽畏胀宙挛养栖孝谜郁磷菇匹抚葱渊神厕种丹奉杭凯昨瞪俏亭周盘术后生氰烩前馋莉速晋陨布锗匀节尤聪愿谓方腾呀近距豺矫钾欧邀蛀卑