知识点17-导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法

学科：高等数学第二章导数与微分知识点17导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法精选习题作者：邹群例17.1(难度系数0.2)曲线在点处的切线方程为，法线方程为lnyx,1Pe.解析：基础题型.切线斜率为，法线斜率为，根据点斜式写出1()fee1()efe方程.解：，.11yxee1yexe例17.2(难度系数0.2)曲线上与直线垂直的切线方程为________lnyx1xy.解析：基础题型.直线的斜率为，因此所求切线的斜率为1，即1xy1，得=1,切点为，于是所求的切线方程为，即1(ln)1yxxx(1,0)01(1)yx.1yx解：.1yx例17.3(难度系数0.2)设曲线与曲线在点处有公共的切线，求常数及切点(0)yaxalnyx00(,)xya.00(,)xy解析：两曲线在处有相同的切线，则，又因为00(,)xy00'=ln'xxxxaxx00(,)xy同时满足方程和，联立即可求出及.(0)yaxalnyxa00(,)xy解：若，则；若，则.由题设知，且yax2ayxlnyx12yx00yax，同时有，解得，切点为.00lnyx00122axx1ae2(,1)e例17.4(难度系数0.4)问:曲线与曲线在哪些点相切,1sinyx2tanyx哪些点垂直.解析：设与在点相切，则切线的斜率相等；若垂直，则切线1sinyx2tanyx(,)xy斜率相乘等于.1解：因为，.设两曲线在点相切,则联立1'cosyx22'secyx(,)xy,2sintancossecxxxx解得,即两条曲线在相切.2()xnn2()xnn不妨仍设两曲线在点直交,则(,)xy.2sintancossec1xxxx解得,即两条曲线在直交.(21)()xnn(21)()xnn例17.5(难度系数0.4，跨知识点16)设在连续，且，则曲线在处的切线方程为.()fx0x0()lim1xfxx()yfx(0,(0))f解析：求切线的关键是确定切线的斜率，此题斜率需要通过极限式求得，利用导数的定义求即可.据可推出，而据函数连续，得再据导数的定义得0()lim1xfxx0lim()0xfx(0)0,f.因此切点为(0,0),切线的斜率为，故曲线00()(0)()(0)limlim10xxfxffxfxx(0)1f在点处的切线方程为.()yfx(0,(0))fyx解：.yx例17.6(难度系数0.4)证明：与在（，sinaxyebxaxye02kppx+b2bk,ab为常数）点相切.解析：若两曲线在交点处的切线斜率相等，则两曲线相切.为此先验证曲线的交点，再验证导数.证明：联立得，故交点的横坐标为（）.sinaxaxyebxyesin1bx022kxbbk因为，，0(2)2(sin)akaxbxxdebxaedx0(2)2()akaxbxxdeaedx所以，故与在（00(sin)()axaxxxxxddebxedxdxsinaxyebxaxye022kxbb，为常数）点相切.k,ab例17.7(难度系数0.6，跨知识点16)在内可导，周期为4，()fx(,)，则曲线在点处切线的斜率为0(1)(1)lim12xffxx()yfx(5,(5))f，法线的斜率为.解析：，即，所以曲线00(1)(1)(1)(1)lim1lim22xxffxfxfxx(1)2f在点处切线的斜率为.()yfx(1,(1))f2据在内可导，周期为4，因此且，故()fx(,)(4)()fxfx(4)()fxfx，所以曲线在点处切线斜率为，法线的斜率为.(5)(1)2ff()yfx(5,(5))f212解：，.212例17.8(难度系数0.6)求与的公切线方程.2yxax2(0)yxbxba解析：设出公切线方程，分别将此公切线方程与两函数联立，由切线与曲线交点个数为1，求出和.kc解：令切线为，联立，得.因为切线与曲线ykxc2ykxcyxax2()0xakxc交点个数为1，因此得.（17.1）2()40akc联立，同理可得2ykxcyxbx.（17.2）2()40bkc据式（17.1）、（17.2）求得，.所以公切线方程为2abk2()16abc2()216ababyx.例17.9(难度系数0.8，跨知识点11，13)已知是周期为5的连续函数，它在()fx0x的某个邻域内满足关系式，(1sin)3(1sin)8()fxfxxx其中是当时比高阶的无穷小量，且在处可导，求曲线()x0xx()fx1x()yfx在点处的切线方程.(6,(6))f解析：为了求曲线在点处的切线方程，只需要求出.因()yfx(6,(6))f(6),(6)ff为是周期为5的连续函数，故只须求出.()fx(1),(1)ff解：由，00lim[(1sin)3(1sin)]lim[8()]xxfxfxxax据函数连续，得，则.(1)3(1)0ff(1)0f又，00(1sin)3(1sin)8()limlim8sinsinsinxxfxfxxaxxxx另外0(1sin)3(1sin)limsinxfxfxx00(1sin)(1)3[(1sin)(1)]limlimsinsinxxfxffxfxx，(1)3(1)4(1)fff所以.而据函数周期为5，得，，所求的切线方程(1)2f(6)(1)0ff(6)(1)2ff为.2(6)yx