与圆有关的位置关系复习教案-人教版(优秀教案)

与圆有关的位置关系◆考点聚焦．理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系．．能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点．．能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系．◆备考兵法．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决．．判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系．．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”◆识记巩固．设圆的半径为，点到圆心的距离为，则点在圆内；点在圆上；点在圆外．．直线与圆的位置关系：如果⊙的半径为，圆心到直线的距离为，那么：（）直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的，公共点叫做，此时；（）直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的，公共点叫做，此时．（）直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相离，此时．．圆和圆的位置关系：如果两圆半径分别为和（），圆心距为，那么：（）两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在，这时我们称两圆，．（）两个圆有公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在，这时我们称两圆，．（）两个圆有两个公共点，我们称这两个圆，此时．（）两个圆有公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上所有的点都在，这时我们称两圆，－．（）两个圆没有公共点，并且一个圆上所有的点都在，这时我们称两圆，－．说明：两圆和统称为两圆相切，唯一的公共点称为，两个圆同心是两圆的特例．．圆的切线的判定方法：（）定义法：与圆只有个公共点的直线是圆的切线．（）数量关系法：到圆心的距离的直线是圆的切线；（）判定定理：过半径且与这条半径的直线是圆的切线．．切线的性质定理及推论：定理：圆的切线于经过切点的．推论：经过且垂直于的直线必经过切点．推论：经过且垂直于的直线必经过圆心．．经过圆外一点作圆的切线，这一点和之间的线段长，叫做这点到圆的；从圆外一点可以引圆的条切线，它们的相等，这点和圆心的连线．．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条的交点．识记巩固参考答案:．≤．（）两割线交点（）－切线切点（）．（）另一个圆的外部外离（）唯一另一个圆的外部外切（）相交－（）唯一另一个圆的内部内切（）另一个圆的内部内含外切内切切点内含．（）－（）等于半径（）外端垂直．垂直半径圆心切线切点切线．切点切线长两切线长平分两条切线的夹角．内切圆内切圆角平分线◆典例解析例（，福建福州）如图，是⊙的直径，是弦，∠°，延长到点，使得∠°．（）求证：是⊙的切线；（）若2，求的长．解析（）证法一：如图，连结．∵∠°，∠∠．∴∠°．又∵∠°，∴∠°－∠－∠°，即⊥，∴是⊙的切线．证法二：如图，连结．∵∠°，∠°．∴∠°－∠－∠°．又∵，∴∠∠°．∴∠∠－∠°．即⊥，∴是⊙的切线．（）由（）可得：△是等腰直角三角形．∵是直径，且2．∴2．∴2．∴－－2．点评圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．例如图，⊙与轴交于，两点，交轴于点，过点的直线－2－与轴交于点．（）求证：是⊙的切线；（）在直线上是否存在点，使得△△？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（）当直线绕点转动时，与AC交于点（不与，重合），连结，设，，求，之间满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围．解析（）直线－2－与，轴分别交于点（－2，），（，－）．∴∠2，∠2．∴∠∠．∵∠∠°，∴∠∠°，∴是⊙切线．（）设直线上存在一点（，），使△△，则12××││×12××2．解得±2．由－2－可知，当2时，－；当－2时，－．∴在直线上存在这样的点（－2，－）和（－2，－）．（）如图，作直线交于点．设（，），作⊥轴，为垂足，连结，由，得，－（），－，∴－－－－，即－－．①又∵22COOD，－，∴－（－），∴－（－）－，解得282n．②将②代入①，解得或－（舍去）．∴（）．点拨本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角坐标系，解直角三角形以及解方程（组）的相关知识，综合性极强．例（，江苏无锡）如图，已知点从（，）出发，以个单位长度秒的速度沿轴向正方向运动．以，为顶点作菱形，使点，在第一象限内，且∠°，以点（，）为圆心，为半径作圆，设点运动了秒，求：（）点的坐标（用含的代数式表示）；（）当点在运动过程中，所有使⊙与菱形的边所在直线相切的的值．解析（）过点作⊥轴于点．∵，∴，∴·°12t．·°3(1)2t，∴点的坐标为（12t，3(1)2t）．（）①当⊙与相切时（如图），切点为，此时⊥，∴．°．∴×32，∴332－．图图图②当⊙与，即与轴相切时（如图），则切点为，，过点作⊥于点，则12．∴12t°332，∴3－．③当⊙与所在直线相切时（如图），设切点为，交于点，则⊥，∴3(1)2t．∴·°3(1)2t323(1)2t．过点作⊥轴于点，则，∴（12t）[3(1)2t－][323(1)2t]．∴（）－3（）．∴3±6．∵3－6－，∴36－．∴所求的值是332－，3－和36－．点评运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏．◆中考热身．（，吉林长春）如图，在△中，，以点为圆心，为半径的⊙与相切于点，交于点，交于点，点是⊙上一点，且∠°，则图中阴影部分面积是（）．－9．－89．－49．－89．（，河北）如图，与⊙相切于点，的延长线交⊙于点，连结，若∠°，则∠．．（，吉林长春）已知⊙的半径为3cm，点是⊙外一点，4cm，则以为圆心且与⊙相切的圆的半径是．．（，湖北荆门）如图，⊙是△的外接圆，为直径，∠°，是⊙的切线，⊥于点．（）判断△的形状；（）设⊙的半径为，且312，求证：△≌△．．（，山东威海）如图，点，在直线上；11cm，⊙，⊙的半径为1cm，⊙以每秒2cm的速度自左向右运动，与时同时，⊙的半径也不断增长，其半径（）与时间（秒）之间的关系式为（≥）．（）试写出点，之间的距离（）与时间（秒）之间的函数表达式；（）问点出发后多少秒两圆相切？◆迎考精练一、基础过关训练．若⊙与⊙相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距为（）．10cm．6cm．10cm或6cm．以上答案均不对．两圆的半径分别为和，圆心距为，则其内公切线长和外公切线长分别为（）．，．，．，．，．如图所示，△外切⊙于点，，，若∠°，∠°，则∠．．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，切点为，点为⊙上的一点，且∥．求证：．．．．如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，过作∥交⊙于点，连结．（）求证：是⊙的切线；（）若，直径，求线段的长．二、能力提升训练．如图，在等边△中，⊥于点，一个直径与相等的圆与相切于点，与相切于点，连结．（）判断与的位置关系（不必说明理由）；（）过点作的垂线，交圆于点，连结，判断四边形的形状，并说明理由；（）求证：与的交点为此圆的圆心．．已知∠°，为边上一点，以为圆心，为半径作⊙，交于，两点，设．（）如图，当取何值时，⊙与相切？（）如图，当取何值时，⊙与相交于，两点，且∠°？图图．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的⊙与相切于点，与，分别相交于点，．（）求证：与⊙相切；（）若正方形的边长为，求⊙的半径；（）对于以点，，，以及与⊙的切点为顶点的五边形的五条边，从相等关系考虑，你可以得出什么结论？请你给出证明．参考答案中考热身．．°．或．（）解：∵∠°，∴∠°．又∵，∴∠∠°．又∵是切线，∴∠°，∴∠°－°－°°．而⊥于点，∴∠°－∠°．故△为等腰三角形．（）证明：在△中，∵，，∴22213．又∵312，∴312．又∵∠°，∴3．∴－3．而∠∠－∠°－°°∠，∴△≌△．．（）当≤≤时，函数表达式为－；当时，函数表达式为－．（）两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得－，；②当两圆第一次内切，由题意，可得－－，113．③当两圆第二次内切，由题意，可得－－，；④当两圆第二次外切，由题意，可得－，．所以，点出发后秒，113秒，秒或秒时，两圆相切．迎考精练基础过关训练．．．°．证明：∵切⊙于点，∴∠°，∵是⊙的直径，∴∠°，∴∠∠．又∵∥，∴∠∠，∴△∽△，∴OBBCADBD，∴··．．（）证明：连结．∵，∴∠∠．∵∥，∴∠∠，∠∠，∴∠∠．又∵，，∴△≌△，∴∠∠．∵切⊙于，∴∠°．∴∠°，∴是⊙的切线．（）解：连结．∵是直径，∴∠∠°．又∠∠，∴△∽△，∴BCOBBDAD．在△中，222262ABAD2．∴3242BC，∴2．能力提升训练．（）∥．（）四边形为矩形．理由：∵⊥，为切点，∴为直径，∴．又∵⊥，⊥，∴∥，∠∠°，∴四边形为矩形．（）连结，由（）可知，为直径，∴⊥．又由（）可知，∥，∴⊥．又∵四边形为矩形，∴⊥，则是已知圆的切线．又也是已知圆的切线，∴，∴是的垂直平分线，故必过圆心．∴与的交点为此圆的圆心．点拨：也可根据△≌△进行说理证明．．解：（）如图，设与⊙相切于点，连结，则，又∠°，∴，∴－－．即时，⊙与相切．（）如图，过作⊥于点．∵，∠°，∴2．又∵∠°，∴2．∴－2－．即2－时，⊙与相交于，两点，且∠°．．（）证明：连结，作⊥于点．∵⊙与相切，∴⊥．∵四边形是正方形，∴平分∠，∴，∴与⊙相切．（）解：∵四边形是正方形．∴，∠°，∠°，∴2，∠°∠，∴，∴22ONNC22，∵2，∴22，∴－2．（），．证明：作⊥，⊥．∵平分∠，∴，∴．∵，∴．∵，与⊙相切，∴．∵，∴．又∠∠°，∴△≌△，∴．学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。明天会更好，相信自己没错的！我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。