名师讲解小学列方程解应用题

【重点难点提要】重点：1．理解并掌握列方程解应用题的一般步骤，学会按步骤设未知数列方程求解；2．初步学会分析应用题中数量间相等关系的方法，知道常见的数量关系式(如路程=速度时间等)和计算公式(如：三角形的面积=底高2等)都可以作等量关系式列方程求解。难点：1．学会寻找应用题中数量间相等关系的方法，能正确地找出应用题中的等量关系列方程求解；2．初步学会恰当地设未知数列方程；3．初步学会根据应用题中数量关系的具体情况，灵活选用算术解法或方程解法解答应用题。【知识方法归纳】1.列方程解比较容易的两步应用题(1)列方程解应用题的步骤①弄清题意，找出未知数并用x表示；②找出应用题中数量间的相等关系，列方程；③解方程；④检查，写出答案。(2)列方程解应用题的关键弄清题意后，找出应用题中数量间的相等关系，恰当地设未知数，列出方程。(3)运用一般的数量关系列方程解应用题①列方程解加、减法应用题。如：甲乙两人年龄的和为29岁，已知甲比乙小3岁，甲、乙两人各多少岁？数量间的等量关系：甲的年龄+乙的年龄=甲乙二人的年龄和解：设甲的年龄是x岁，则乙的年龄为：(x+3)岁。x+(x+3)=29x+x+3=292x=29-3x=262x=13……甲的年龄13+3=16(岁)……乙的年龄答：甲的年龄是13岁，乙的年龄是16岁。②列方程解乘、除法应用题。如：学校图书馆买来故事书240本，相当于科技书的3倍，买来科技书多少本？科技书的本数3=故事书的本数解：设买来科技书x本3x=240x=80答：买来科技书80本。(4)用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系，列方程解应用题①一长方形的周长是240米，长是宽的1.4倍，求长方形的面积。(长+宽)2=周长解：设宽是x米，则长是(1.4x)米。(1.4x+x)2=2402.4x=2402x=1202.4x=50……长方形的宽501.4=70(米)……长方形的长7050=3500(平方米)答：长方形的面积是3500平方米。②三角形ABC中，角A是角B的2倍，角A与角B的和比角C小18°。求三个角的度数。这是一个什么三角形？角A+角B+角C=180度解：设角B是x度，则角A是(2x)度，角C是[(2x+x)+18]度。2x+x+[(2x+x)+18]=1806x+18=1806x=180-18x=1626x=27……角B的度数272=54(度)……角A的度数54+27+18=99(度)……角C的度数答：角A是54度，角B是27度，角C是99度。因为：角B角A角C，90°角C180°，所以这个三角形是钝角三角形。③一个两位数，十位数字与个位数字的和是6。若以原数减去7，十位数与个位数字相同，求原数。十位上的数字个位上的数字解：设原数的个位数字为x。则原数十位上的数字为：6-x；若从原数中减去7，则个位上的数字变为：10+x-7、十位上的数字变为：6-x-1。6-x-1=10+x-75-x=3+x2x=2x=1……原数的个位数字6-1=5……原数的十位上的数因此，原数是：51。2．列方程解二、三步计算的应用题广水电影院原有座位32排，平均每排坐38人；扩建后增加到40排，可比原来多坐584人。扩建后平均每排可以坐多少人？解：设扩建后平均每排坐x人。x40-3832=58440x-1216=58440x=584+1216x=180040x=45答：扩建后平均每排可以坐45人。3．列方程解含有两个未知数的应用题某班学生合买一种纪念品，每人出1元，多4元6角；每人出9角，就差5角。求这件纪念品多少钱？这个班共有多少名学生？解：设这个班共有x名学生x-4.6=910x+510x-4.6=0.9x+0.50.1x=5.1x=51……这个班学生人数51-4.6=46.4(元)……纪念品的单价答：这件纪念品46.4元；这个班共有学生51名。4.用方程解和用算术法解应用题的比较用方程解应用题和用算术法解应用题有什么区别，它们之间的主要区别在于思路不同。用方程解应用题，要设未知数x，并且把未知数x与已知数放在一起，分析应用题所叙述的数量关系，再根据数量关系和方程的意义，列出方程式。用算术法解应用题，要把已知数集中起来，加以分析，找出已知数与未知数之间的联系，列出算式表示未知数。例如：小华身高160厘米，比小兰高15厘米。小兰的身高是多少厘米？用方程解：解：设小兰的身高x厘米160-x=15x=160-15x=145或：x+15=160x=160-15x=145用算术法解：160-15=145通过比较，同学们可以看出，这两种方法的主要区别是未知数参加不参加到列式之中。列算术式，是根据题中的条件，由已知推出未知，用已知数之间的关系来表示未知数。未知数是运算的结果，已知与未知数用等号隔开。列方程式，是根据题目叙述的顺序，未知数参加列式，未知数与已知数用运算符号相连接，从整体上反映数量关系的各个方面，所以，解题方式灵活多样，适用面广，用来解答那些反叙的问题更显得方便。【典型范例剖析】例1甲乙两桶油，甲桶里有油45千克，乙桶里有油24千克，问从甲桶里倒多少千克的油到乙桶里，才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1.5倍？分析：根据变动以后“甲桶里油的重量是乙桶的1.5倍”，可以列出等量关系式：现在乙桶里油的重量1.5=现在甲桶里油的重量设从甲桶里倒x千克的油到乙桶里，那么，现在甲桶里的油是(45-x)千克，现在乙桶里的油是(24+x)千克。解：设从甲桶里倒x千克油到乙桶里。(24+x)1.5=45-x36+1.5x=45-x36+1.5x+x=4536+2.5x=45x=(45-36)2.5x=3.6答：从甲桶里倒3.6千克的油到乙桶里，才能使甲桶里油的重量是乙桶的5倍。例2一位三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？分析：原三位数中只知道个位数字，百位和十位上的数字都不知道。如果设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x，则原三位数可表示为“10x+5”，那么新数就可以表示为“5100+x”。解：设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x，可得方程：10x+5=5100+x+10810x-x=500+108-59x=603x=671067+5=675……原三位数答：原三位数是675。例3某校附小举行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人，第二次及格人数增加5人，正好是不及格人数的6倍，问参加竞赛的有多少人？分析：本题所求的参赛人数包括了及格的和不及格的人数，而第二次的参赛人数与第一次参赛人数有直接关系的条件，总人数又不变。所以我们设第一次参赛的不及格人数为x人，那么第一次参赛及格的人数可以用“(3x+4)”人来表示，总数是(4x+4)人，第二次参赛及格的人数是(3x+4+5)人，不及格的人数是(x-5)人，根据“第二次及格人数是不及格人数的6倍”，这一等量关系，可列方程。解：设第一次参赛不及格的人数为x，依据题意可得方程：3x+4+5=(x-5)63x+9=6x-303x=39x=13则4x+4=134+4=56……参加竞赛的人数答：参加竞赛的有56人。【易错题解举例】例1吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？错误：设经济作物有x公顷x=(84-2)÷4x=82÷4x=20.5答：经济作物有20.5公顷。分析：这题列出的式子是一个算术式，不是方程。错误在于没有弄清方程和算术式的区别。算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数，如本题的“x=(84-2)÷4”；而在方程里，未知数则是参加运算的，本题中的“x”则没有参加运算。改正：设经济作物有x公顷4x+2=84(或4x=84-2)4x=82x=20.5答：经济作物有20.5公顷。例2食堂运来一批煤，原计划每天烧210千克，可以烧24天。改进炉灶后这批煤可烧28天。问：改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？错误：设每天比原计划节约x千克28x=21024x=180210-180=30(千克)答：改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。分析：题中所设未知数x与方程式中的x所表示的意义不同。题目中的方程式的“x”所表示的是“改进炉灶后平均每天烧煤数”，并不表示“节约”的数。本题可以采用“间接设未知数法”或“直接设未知数法”。改正：(1)间接设未知数解：设改进炉灶后每天烧煤x千克，则每天比原计划节约(210-x)千克。28x=2102428x=5040x=180210-x=210-180=30(2)直接设未知数解：设改进炉灶后平均每天比原计划节约x千克。(210-x)28=21024210-x=180x=210-180x=30答：改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。例3王兰有64张画片，雷江又送给她12张，这时王兰和雷江的画片数相等。雷江原有画片多少张？(用方程解)错误：设雷江原有画片x张x-12=64x=76分析：雷江送12张画片给王兰后，两人的画片数才相等。也就是说，雷江减少12张，王兰增加12张之后，他们的画片数才同样多。此解法把等量关系弄错了，误认为雷江的画片减少12张后与王兰原有的画片数相等。改正：设雷江原有画片x张。x-12=64+12x=76+12x=88答：雷江原有画片88张。【解题技巧指点】1.列方程解应用题时，往往列出来的是一个算术式，误以为是方程。如：广水市吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？解：设经济作物有x公顷x=(84-2)4x=824x=20.5答：经济作物有20.5公顷。本题中的“x=(84-2)4”是一个算术式。出现上述错误，原因在于没有弄清方程式和算术式的区别。算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数；而在方程里，未知数则是参加运算的。本题的方程应该列为：4x+2=84或4x=84-2或84-4x=22．按照题意，恰当地设未知数。如：第一教工食堂运来一批煤，原计划每天烧煤210千克，可烧24天，改进炉灶后这批煤可烧28天。问：改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？设未知数时一般有两种方法：一种是直接设未知数为x，题目中问什么，就设什么为x；另一种是间接设未知数为x，再通过这个量与所求问题的关系，求出应用题中要求的未知量。如果按直接设未知数为x的方法解答，那么本题中所列方程应该是：解：设每天比原计划节约x千克煤(210-x)28=21024210-x=180x=210-180x=30如果采用间接设未知数x的方法：解：设改进炉灶后每天烧煤x千克，则每天比原计划节约(210-x)千克。28x=21024x=180210-180=30(千克)答：每天比原计划节约30千克。【课本难题提示】[P112-113练习二十七]12．分析：被除数是一个数的3倍，为3x，被除数等于商乘以除数加上余数。3x=45+4这个方程是正确的，这个数是8。13．分析:等边三角形的每个角是60°，因此：∠2=60°2=30°，∠4=60°2=30°，∠2+∠4=x°=180°。x是多少就很容易求出来了。30+30+x=180x=120[P116-117练习二十八]14.2x+33=17x=4[P119-120练习二十九]13．分析：甲乙两人所走路程的和是860-300。377+7x=860-300x=43思考题：分析：从第一个条件可以推断：小明所跑的路程的2倍比爸爸的路程长，从第二条件可以推断：妈妈跑的路程的2倍比爸爸跑的路程短。由此可以推断：小明跑的路程的2倍比妈妈跑的路程的2倍长，所以，小明比妈妈跑的路程长。[P122-124练习三十]16.设每本《故事大王》x元(1.6+x)4=20-7.6x=1.517.设杏树x棵，则桃树为3x+20棵。x+3x+20=340x=80380+20=260(棵)18．乙车每小时行x千米，则甲车每小时行2x千米。(x+2x