高中《正弦定理》课题中的数学思想方法及其教学启示

高中《正弦定理》课题中的数学思想方法及其教学启示[关键词]数学思想方法；正弦定理；[摘要]数学思想方法的教学是新课改中所必须把握的教学要求，它是数学教育教学本身的需要，是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要，是提高学生解题能力的需要。本文结合新人教A版1.1.1的课题《正弦定理》，阐述了新课改下“数形结合”、“分类讨论”等几种重要数学思想方法的地位和作用。一、数学思想方法的地位和作用1、数形结合的数学思想方法：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。在中学数学教学中，教师要把数形结合这一数学基本观点始终贯穿在学生学习过程中。在新课标背景下，中学数学的教学过程更注重对学生数学思想的训练和提高，强调学生利用数学思想分析问题，提出方案解决实际问题的能力和素质。利用数和形的不同特点和性质，在教学过程帮助学生建立起应用数学的形象思维，解决实际问题，符合新课标提出的素质教育的内在要求，也值得我们在教学过程中对这一问题进行研究和探讨。2、分类讨论思想：分类讨论的思想方法是指在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，不可一概而论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理，需要根据所研究的对象在性质上存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决。分类标准必须统一，否则会导致逻辑混乱；各种分类的集合必须彼此互斥，即各个分类没有公共部分，否则会造成重复讨论；分类必须是全面而完整的，否则会有所遗漏；对于需要多级讨论的，必须逐级地进行，不能出现越级讨论的现象，否则会导致层次不清，乃至错误。此外，要在确保正确的基础之上尽量减少分类，使问题解决过程简洁化。课程标准将数学思想方法教学作为课程目标之一，指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”，而分类讨论是重要的思想方法之一，因而教学中要注重分类讨论思想方法的渗透。总之，分类讨论思想能够促使学生全面而周密地分析和思考问题，有助于提高思维的逻辑性和严谨性，能有效地克服思维的片面性。因而，教学中要对分类讨论思想有意识地加以渗透，对蕴含于数学知识中的分类讨论思想适时地予以揭示，经过反复强化，螺旋上升的过程，优化学生的思维品质，提高学生的数学能力，达到事半功倍的效果。3、类比的数学思想方法：众所周知，类比思想在数学中具有广泛应用，它的魅力在于可以使数学学习更容易、更生动、更形象、有利于学生自主探索与创新思维的培养，现在新课标要求的三维教学目标中“过程与方法”这一目标要求我们能过让学生掌握类比思想。数学课堂教学的目的就是促进学生能够主动学习，提高学生的学习兴趣和能力，让各类学生都能参与到课堂教学中。在传统的教学中过分倚重“题型覆盖知识点”的训练，淡化了数学思维过程和思想方法，让学生机械学习、死记硬背。在这种教学方法下学生只是被动的接收知识没有充分的参与到知识的形成过程中，更不会体验的“再创造”数学知识的快乐，而类比思想教学的实施，恰好能改变学生久的学习方式，如果学生能养成一种类比的思维习惯，这种思维习惯能使学生构建并完善自己的知识结构，完成学习方式的改变。新课程标准认为,教师是学生学习的合作者、引导者和参与者。教学过程既是师生共同交往、共同发展的过程,又是师生互教互学、合作开发、共同研究的过程。改革要求教师转变教学观念,改变原有的单一讲授式教学方式,转变教师在课堂上的作用,以学生为主体,教师为主导。由于长期以来数学的课堂教学都是以教师讲解为主,数学习题的演练贯穿始终,忽视学生对新知识的接受过程,而类比思想教学的引入,为数学教师在课堂上对新课程精神的把握提供了一条途径。通过运用类比思想教学,学生的主体地位体现了,教师的主导地位也体现了,学生的学习方式改变了,学习兴趣也增加了,这些都是新课程所倡导的。因此,类比思想教学在数学课堂教学中的运用,是数学教师进入新课程,并适应新课改的4、归纳的数学思想方法：归纳是指由一类事物的部分对象具有某一属性，而做出该类事物都具有这一属性的一半结论的推理方法，其主要作用是探索划归的方向和目标，发现问题的结论，寻找结局问题的途径，在数学教学中应用归纳推理引入概念和原理，符合学生的认知规律，易为学生所理解，更重要的是能培养学生从一般到抽象的概括能力，进而培养其创造能力。5、抽象的数学思想方法：二、结合新人教A版1.1.1《正弦定理》讨论数学思想方法1、《正弦定理》分析：正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形;(2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。本节授课对象是高二学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高二学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。教学目标1.知识与技能：(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题2.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养。教学重点、难点：（1）.正弦定理的推导.（2）.正弦定理的运用2、《正弦定理》教学过程中数学思想方法的渗透、应用：（1）.问题引入：播放多媒体,刘备携民渡河的典故引出问题:“设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?”三国典故提出问题,营造宽松、和谐、主动积极的探究氛围，激发学习兴趣.（2）.猜想：“请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样表示的？有没有一个量可以把三个式子联系起来？”复习回顾直角三角形中正弦的定义，挖掘学生的原有认知，在原有知识和学习目标之间搭建平台并发现边角之间的关系，从而大胆猜想任意三角形也满足。（3）.验证猜想：“思考一下，对于一般三角形，边角之间是否也存在sinsinsinabcABC的关系呢？”验证过程分三步，第一步，给出等边三角形，发现特殊角的三角形存在猜想中的边角关系；第二步，教师出示报告单，学生分组完成试验报告单（每组画一个三角形，度量出三个边和三个角，通过试验数据计算，发现猜想）。第三步，教师演示几何画板，任意变动三角形，观察边角关系。此处渗透了数形结合的数学思想方法，通过几何画板的应用，使抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。学生由教师演示任意三角形，发现一般三角形也有此性质，小组活动体现了教育改革中充分让学生发挥主体作用的理念。（4）得出定理：通过一系列猜想和验证，引出正弦定理，此处应用了归纳的数学思想方法，符合学生的认知规律，易为学生所理解，更重要的是能培养学生从一般到抽象的概括能力，进而培养其创造能力。（5）证明定理：定理的证明，先分析三角形的分类（按角可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形），此处应用了分类讨论的数学思想方法，按角的大小将三角形分为三类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个定理在总体上得到证明；接着，由教师引导学生通过在锐角三角形中构建直角三角形从而证明正弦定理，再交给学生自己证明顿角三角形中的正弦定理，此处又渗透了类比的数学思想方法，由教师主导，以学生为主体在教师之前的铺垫下自己证明定理，提高学生学习兴趣，并避免了死记硬背的弊端。（6）应用定理：将引入时的渡江问题抽象成数学模型，再运用定理解决问题，此处又很好的渗透了抽象、数形结合的数学思想方法，将渡江问题很好的抽象为具体的、直观的数学模型。三、教学启示数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求发展学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。数学思想对中学数学的教学意义重大,在教学中渗透方程思想,分类讨论思想,数形结合思想,整体思想,化归思想,变换思想,辩证思想等多种数学思想方法。这样可以培养学生的思维能力,从而提高学生的学习效果。中学数学教学过程,实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。在这个过程中,必然要涉及数学思想的问题。数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝,是数学的精髓,它对数学教学具有决定性的指导意义。参考文献：[1]