大学物理-角动量-角动量守恒定律课件

2.4角动量守恒定律*角动量概念的引入0CvMp总由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？CM*引入与动量对应的角量——角动量（动量矩）pL动量对参考点（或轴）求矩2.4角动量守恒定律1.角动量•质点的角动量:质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点O的位矢为，质点相对于原点的角动量定义为mrvrxyzomvmrprLvrLsinvrmL大小的方向符合右手法则.L单位：12smkgv一角动量2.4角动量守恒定律tgmvmptgr,2120213ggmtprLA质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质点做直线运动时是否也具有角动量呢？质点作变速直线运动时一个质量为m的质点由A点自由下落，不计空气阻力。若以A点为参考点，则在任意时刻t，有：Avr2.4角动量守恒定律若以O为参考点，质点在任意时刻的角动量为：RAvrRro方向垂直纸面向里其大小为;.)(,00rmgtLtgmRprRPrLrRr2.4角动量守恒定律•若质点作匀速直线运动，以O点为参考点，质点的角动量为：constvmrvmrL0•注意：对不同的参考点有不同的角动量vmrvmrLsin02.4角动量守恒定律•质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量，等于各质点对该参考点的角动量的矢量和，即iiiiiivmrprLL质点在平面内运动时，质点对平面内某参考点的角动量矢量与这个平面垂直。这时可以把质点对运动平面内某参考点的角动量的数值称为质点对过o点垂直于平面的轴的角动量。2.4角动量守恒定律如图，有一个作半径为r的圆周运动的质点m，其对o点的角动量为vmrprL对z轴的角动量大小为2mrvmrL角动量L的方向就是的方向，可以用右手定则判断。vmr刚体定轴转动时，总角动量为22iiiiiiiirmrmLLLrpmoZ2.4角动量守恒定律?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(dddd0,ddptrvv2.角动量的时间变化率prLddddM=sinLprrFMttMrFrFFdθFrOd2.4角动量守恒定律tLMdd作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.ddddM=sinLprrFMttMrFrFFdθFrOd力矩的大小为力的大小与参考点到力的作用线的垂直距离d的乘积。MF2.4角动量守恒定律•质点系角动量对时间的变化率设质点系由N个质点组成，每个质点所受的外力力矩为，内力的力矩为，则有外iM内iM222dLMMdt外内111dLMMdt外内………对以上各式求和，得iiiiiidLMMdt外内2.4角动量守恒定律说明：1)在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的各个力的力矩的矢量和，而不是合力的力矩注意：作用于系统的外力矢量和为零时，合力矩不一定为零如图的一对力偶，其矢量和为零，而合力矩不为零。2.4角动量守恒定律2)一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而质点系所有内力矩之和恒为零，即0iiM内证明：一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零0)(ijijijjiijjijijijijifrfrrfrfrfrfrM内O2.4角动量守恒定律因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与内力矩无关。外故而：MdtLdiiiiiidLMMdt外内2.4角动量守恒定律质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.LM,0恒矢量质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.冲量矩tMttd2112d21LLtMtt质点的角动量守恒定律tLMdd3、质点的角动量定理及守恒定律2.4角动量守恒定律在有心力场中运动的质点角动量守恒：0dLMrFdt有心力：方向始终指向或背向一个固定中心的力，该固定中心称为力心LrpmoF2.4角动量守恒定律LvrmrdtdsmdtrrdmrdtrdmmvrL2sin212sinsin开普勒第二定律对于任一行星，由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积dS：矢径在dt时间====扫过的面积2.4角动量守恒定律质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与内力矩无关。dLMdt外即：写成积分式LLLLddtMLLtt000质点系的角动量定理：表明质点系在t0到t时间内所受合力矩的冲量等于同一时间内质点系的角动量的增量。3、质点系的角动量定理及守恒定律2.4角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力对某参考点的力矩的矢量和为零时，则质点系对该参考点的总角动量不随时间变化。L恒矢量当时，0外M2.4角动量守恒定律vmrprL质点的角动量12d21LLtMtt质点的角动量定理tLMddLM,0恒矢量质点的角动量守恒定律2.4角动量守恒定律质点系的角动量iiiiiivmrprLL外MdtLd质点系的角动量定理LLLLddtMLLtt000L恒矢量当时，0外M质点系的角动量守恒2.4角动量守恒定律例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上),然后从A点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度.解小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里cosmgRM由质点的角动量定理tLmgRddcosB2.4角动量守恒定律tLmgRddcostmgRLdcosd考虑到2,ddmRmRLtvdcosd32gRmLL得由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL21)sin2(Rg2mRL2.4角动量守恒定律例2：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m=1kg的滑块，如图所示．弹簧自然长度l0=0.2m，劲度系数k=100N·m-1.设t=0时，弹簧长度为l0，滑块速度v0=5m·s-1，方向与弹簧垂直．以后某一时刻，弹簧长度l=0.5m．求该时刻滑块速度的大小和夹角θ．vlvl00v2.4角动量守恒定律sin00lmlmvv20220)(212121llkmmvv12020sm4)(mllkvv30)arcsin(00llvv解：由角动量守恒和机械能守恒可得lvl00v2.4角动量守恒定律例3一质量的登月飞船,在离月球表面高度处绕月球作圆周运动.飞船采用如下登月方式:当飞船位于点A时,它向外侧短时间喷气,使飞船与月球相切地到达点B,且OA与OB垂直.飞船所喷气体相对飞船的速度为.已知月球半径;在飞船登月过程中,月球的重力加速度视为常量.试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量是多少?m0vAvBBvuvhORAkg1020.14mkm100h14sm1000.1ukm1700R2sm62.1g2.4角动量守恒定律解设飞船在点A的速度,月球质量mM,由万有引力和牛顿定律0vhRmhRmmG202M)(v2MRmGg0vAvBBvuvhORAkg1020.14mkm100h14sm1000.1ukm1700R2sm62.1g已知求所需消耗燃料的质量.m2.4角动量守恒定律得12120sm1612)(hRgRv21)(220vvvA0'()'mRhmRBvv1sm1709)(RhR0Bvv得当飞船在A点以相对速度向外喷气的短时间里,飞船的质量减少了Δm而为,并获得速度的增量,使飞船的速度变为,其值为vAv'mu质量在A点和B点只受有心力作用,角动量守恒'm0vAvBBvuvhORA2.4角动量守恒定律飞船在A点喷出气体后,在到达月球的过程中,机械能守恒21)(220vvvA1sm1709BvRmmGhRmmGMM2B2Avmvm2121RmGhRmGMM222B2Avv即1sm1615Av于是121sm100)(202Avvv而vmum)(kg120ummv0vAvBBvuvhORA2.4角动量守恒定律•3B-1.3.4.52.4角动量守恒定律直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的定轴转动txvdd22ddddtxtvatdd22ddddttmvP221mvEKJL221JEKFmMJxFAddtFdddMAtMdmaFJM0dPPtF0dLLtM2022121dmvmvxF2022121dJJM