精品-高中数学专题—二次函数巩固

高中数学专题二次函数专题巩固知识梳理•1、二次函数的解析式（待定系数法）•①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)•②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。•③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－x2)，a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标。2、二次函数研究的四元素：开口a；对称轴-b/2a；顶点；与坐标轴的交点1、配方法2、顶点公式3、对称代入法)44,2(2abacab1、与y轴的交点:(0,c)2、与x轴的交点：y=0时，转化成一元二次方程3、二次函数的相关量1）单调性的相关量：开口；对称轴2）最值相关量：定义域R：定义域[m,n]：3）对称轴相关量：1:对称轴x=-b/2a2:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴x=(a+b)/24）二次方程、二次不等式与x轴的交点坐标是方程f(x)=0的实根，它在x轴上的线段长为||4)(||2122121axxxxxx2、突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根的分布问题：①二次项系数a的符号；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系注：方程、不等式问题等价转化图形问题等价转化简单不等式组Δ=b2－4acΔ0Δ=0Δ0二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集有相异两实根x1,x2(x1x2)有相等两实根x1＝x2＝－b/2a没有实根xx1或xx2x≠－b/2aRx1xx2ΦΦ考点一、二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)＝ax2＋a2x＋2b－a3，当x∈(－2,6)时，f(x)0，当x∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，f(x)0，且f(0)＝48，求f(x)．22320260(2)(6)41244.821241648.fxaxxfxfxaxxaxaxaaaabbaafxxx依题意知函数的图象是抛物线，且开口向下，故，且＝－和＝是＝的两个根，则设函数＝＋－＝－－，比较得，解得所以＝－＋【＋解析】二次函数的表示方法有三种：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－b)2＋c(a≠0)；交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．根据条件可任选一种来表示二次函数．本题采用了交点式．根据题目条件，也可以采用顶点式，因为x＝－2或6是f(x)＝0的两个根，所以x＝2是其对称轴方程，22(2)0(2).(0)4816044486441648.ffxaxcfacaaccfxxx于是设＝－＋由，即，得，所以＝－＋＋【练习1】已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m的取值范围．2222222min1(0)(1)(1)112221.1111.[1,1]1231.1(3)2121.)12(1fxaxbxaaxbxaxbxxabbaabbfxxxxxxxmxxmxxxmmm设函数＝＋＋，则＋＋＋＋＝＋＋＋，整理得，解得所以＝－＋当－时，由－＋＋，得－－当＝时，－＝－，所以－－，则－故【解析】实数的取值范围是－，－．考点二、二次函数的零点分布【例2】已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点都在区间(0,1)上，求实数m的取值范围．222210,12210,1012120110(0)01(1)02112,21(,12]2fxxmxmfxxmxmxmmmmfmfmm函数＝＋＋＋的零点都在区间上，即函数＝＋＋＋的图象与轴的交点都在上，根据图象列出不等或式组，解得，所以－－所以实数的取值范围是－【】－解析二次函数的零点分布也即二次方程实根分布，若两个零点分布在同一区间，则其充要条件包含三个方面，即判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函数值的符号(根据图象判断)；若两个零点分布在两个不同区间，则其充要条件包含一个方面，即区间端点的函数值的符号(根据图象判断)．【练习2】已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．22221(1,0)1,2221(1,0)1,2120102102514206265051,6251()62fxxmxmfxxmxmxfmfmfmmfmmm函数＝＋＋＋的零点分别在区间－和上，即函数＝＋＋＋的图象与轴的交点一个在－上，一个在上，根据图象列出不等式组,解得，所以－－所以实数的取值范围是－，【－解析】．考点三、二次函数在动区间上的最值【例3】函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值记为g(t)．(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值【解析】(1)对区间[t，t＋1](t∈R)与对称轴x＝2的位置关系进行讨论：①当t＋12，即t1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上递增，此时g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；②当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上先增后减，此时g(t)＝f(2)＝3；2222[1]4122(1)3(12)241(2)3.tfxttgtfttttttgtttttgt③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是定二次函数在动区间上的最值，一般是对区间与对称轴的位置关系进行讨论，讨论要按照顺序，不重复，不遗漏．【练习3】已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________【解析】利用函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的图象，知实数a的取值范围是(1,3]．(1,3]考点四、动二次函数在定区间上的最值【例4】已知f(x)＝(4－3a)x2－2x＋a(a∈R)，求f(x)在[0,1]上的最大值．maxmax4430342.30,140.34430341()43003430,10.12aafxxfxfxfaaaaxafxfxfa若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析maxmax41()43003431120432312211240.243330,1222()32()3aaxaaafxfaafxfaafxaaagaaaⅱ若－，即，因为对称轴＝，故又分两种情况讨论：①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关于的函数＝二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：①定区间，定轴；②定区间，动轴，本题是这一类；③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0.【练习4】已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．【解析】根据对称轴x＝a与区间[0,1]的关系讨论：①当a0时，[f(x)]max＝f(0)＝1－a＝2，所以a＝－1；②当0≤a≤1时，[f(x)]max＝f(a)＝2，无实数解；③当a1时，[f(x)]max＝f(1)＝a＝2，所以实数a的值是－1或2.考点五、二次函数综合应用【例5】二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－p－5在区间[－1,1]上至少存在实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围．【解析】只需函数f(x)的图象从[－1,1]上穿过(或f(x)0(－1≤x≤1)恒成立)，等价条件是f(－1)0或f(1)0.因为f(－1)＝4＋2(p－2)－p－5＝p－50，或f(1)＝4－2p＋4－p－5＝3－3p0，所以p∈(－∞，1)∪(5，＋∞)．本题考查二次函数及其图象的综合分析能力，解答中，表面上看，只研究了函数图象从[－1,1]上穿过，并没有讨论图象与x轴无交点的情况．事实上，函数图象若与x轴无交点，由于图象开口向上，所以在[－1,1]上每一点c都有f(c)0.本题可用间接法求解，若在[－1,1]上不存在c使f(c)0，则在[－1,1]上所有的点x，使f(x)≤0，(1)0330(1)05015.(1)(5)0[1,1]fpfpppfx于是只需考察，即，得故满足条件的的取值范围是－，，＋．本题容易出现分析上的偏差，认为方程＝在－上有一根或两根，再根据根的分布去做，注意理解清楚这两种不同的问题．【练习5】若函数f(x)＝(m－2)x2－4mx＋2m－6的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围．1,2,121222821(0)4200402260,2164(2)(26)012mfxxxmfxxxxxmxxmmxxmmmm【解若＝，则＝－－，它的图象与轴的交点是－，，符合要求．若，用间接法：当的图象与轴的非负半轴有两个交点、或与轴无交时析点，有】236164(2)(26)061.13.1,3mmmmmmfxxmmm解得或－；或＝－－－，得－综上，得的图象与轴的负半轴无交点，则或于是符合条件的实数的取值范围是．3.设x1，x2是关于x的方程x2－2ax＋a＋6＝0的两个实数解，则x＋x的最小值是____________822222121212222212(2)4(6)4(6)023.()214922(6)4()4428.aaaaaaxxxxxxaaaaxx因为＝－－＋＝－－，解得－或所以＋＝＋－＝－＋＝－－，所以当＝－时，＋的最小【】值为解析1．二次函数性质的应用若二次函数的二次项系数含有参数a，则必须分a0，a0进行第一层次的分类讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论．对称轴与区间的关系有三种类型，即对称轴变动，区间固定；对称轴固定，区间变动；对称轴与区间都未固定．要根据具体情况分别对待．二次函数方法总结2．二次函数的零点分布也即二次方程实根分布，若两个零点分布在同一区间，则其充要条件包含三个方面，即判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函数值的符号(根据图象判断)；若两个零点分布在两个不同区间，则其充要条件包含一个方面，即区间端点的函数值的符号(根据图象判断)．二次函数方法总结