排列组合-辅导讲义

1郑州洛阳火车1火车2火车3汽车1汽车2高三复习讲义（九）两个原理排列组合【两个原理】1．问题情境一：五一期间，某家庭自助旅游，欲从郑州去洛阳，一天中有火车3班，有汽车2班，那么一天中乘坐这些交通工具从郑州到洛阳有多少种不同的走法？2．由情境一，你能归纳猜想出一般结论吗？分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有1m种不同的方法，在第2类方式中有2m中不同的方法，…，在第n类方式中有nm中不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法．3．问题情境二：后来决定改变行程，先乘火车从郑州到开封，再乘汽车从开封到洛阳，一天中火车有3班，汽车有2班，那么从郑州到洛阳有多少种不同的走法？（不考虑时间因素）4．由情境二，你能归纳猜想出一般结论吗？分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法．例1现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名．（1）从中任选一人参加夏令营，有种不同的选法？（2）从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有种不同的选法？（3）从不同年级中选两名学生参加夏令营，一共有多少种不同的选法？例2为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？（3）密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的一个．这样的密码共有多少个？【随堂练习】（1）书架的上层放有4本不同的英语书，中层放有5本不同的语文书，下层放有6本不同的数学书，从中任取1本书的不同取法的种数是．2（2）在上题中，如果从中任取3本，英语、语文、数学各1本，则不同的取法的种数是．（3）从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？（4）用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？（5）从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？【排列】引例1：从5个不同的元素a，b，c，d，e中任取2个，按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？方法一：所有不同的排列一一列举出来是ab，ac，ad，ae，ba，bc，bd，be，ca，cb，cd，ce，da，db，dc，de，ea，eb，ec，ed．所以共有20种．方法二：运用分步计数原理：可知共有5×4=20种不同排列．引例2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？:字典排序法树形图【知识点】1、排列：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2、排列数：一般地，我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号nmA表示．3、排列数公式：)1()2()1(mnnnnAmn其中n，m∈N*，且m≤n．4、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。123)2()1(nnnAnn，nnA称为n的阶乘，通常用n!表示，即!nAmn例1计算：（1）310A；（2）712812AA．例2若45151617mnA，则n=，m=．例37人站在一排照相，共有多少种不同的站法？例4某年全国足球甲级联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？例5从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？例6从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？3【组合】问题一：有5本不同的书，（1）取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，有几种不同的分法？（2）取出3本给甲，有几种不同的取法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名，（1）分别去参加某天的上、下午活动，有多少种不同的选法？（2）去参加一项活动，有多少种不同的选法？【知识点】1、组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2、组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．记作：mnC．3、组合数公式：根据分步计数原理得到：mmmnmnACA．∴!)1()2)(1(mmnnnnAACmmmnmn．这里m，n∈N*，m≤n，这个公式就叫做组合数公式．特别地，当m=0时，1!!0!0nnCn，即10nC，同理：1nnC例1、求（1）47C；（2）710C．例2、下列问题是排列问题还是组合问题，请用排列数或组合数表示其结果．（1）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需多少种不同的车票？（2）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共有多少种不同的票价（相连两站来去票价一样）？（3）集合A={a，b，c，d，e，f}，则集合A含有4个元素的子集有多少个？（4）从1，3，5，9中任取两个数相加，可得多少个不同的和？（5）从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少个不同的商？例3、一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？例4、在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件．（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至多有2件是不合格品的抽法有多少种？4【课后作业】1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？2、由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？3、一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？4、(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？5、一件工作可以用两种方法完成．有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？6、在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？7、乘积))()((543214321321cccccbbbbaaa展开后共有多少项？8、一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？9、有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法?10、A、B、C、D四个学生报名参加语、数、外三个学科活动小组学习，每人参加一个小组，不同的报名方法共有几种?11、期中考试，语、数、外三科第一名均在A、B、C、D四个学生中，获第一名的情况共有几种?12、从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的有多少个?13、从5名男生和4名女生中任选3人，要求至少有男生和女生各一人的选法有多少种？14、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形各有多少种选派方法?(1)男3名，女2名；(2)队长至少有1人参加(3)至少有一名女队员