因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法01、提公因法：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。【例1】分解因式322xxx(2003淮安市中考题)解：原式221xxx02、应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。【例2】分解因式2244aabb(2003南通市中考题)解：原式22ab03、分组分解法：要把多项式amanbmbn分解因式，可先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组并提出公因式b，从而得到amnbmn，又可以提出公因式mn，从而得到abmn。【例3】分解因式255mnmnm解：原式255555mmmnnmmnmmnm04、十字相乘法：对于2mxpxq形式的多项式，若abmcdq、且acbdp，则2mxpxq可因式分解为axdbxc【例4】分解因式27196xx解：原式372xx05、配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。【例5】分解因式2340xx解：原式222223339316934040222424xxxx313313852222xxxx06、拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。【例6】分解因式bcbccacaabab解：原式bcabcacacaababbcabbccacacaababbcabababbccacacacababbaccaabbcca07、换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。【例7】分解因式432262xxxx解：原式2422222211621110xxxxxxxx令21yx，则原式22210225yxyxyxyx∴原式222122151221xxxxxxx08、求根法：令多项式0fx，求出其根123nxxxx、、、…、，则多项式fx可因式分解为123nfxxxxxxxxx…。【例8】分解因式432272136xxxx解：令4322721360fxxxxx，通过综合除法可知0fx的根分别为13212、、、，则原式21321xxxx09、图象法：令yfx，做出函数yfx的图象，找到它与x轴的交点12nxxx、、…、，则多项式fx可因式分解为12nfxxxxxxx…【例9】分解因式32256xxx解：令32256yxxx，作出其图象，如右图所示，∵与x轴的交点分别为312、、，∴原式312xxx10、主元法：先选定一个字母为主元，再把各项按这个字母次数从高到低排列，然后进行因式分解。【例10】分解因式222abcbcacab分析：此题可选定a为主元，将其按a的次数从高到低排列解：原式22222222abcbcabacbcabcabcbcbc2bcaabcbcbcabac11、利用特殊值法：将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。【例11】分解因式3292315xxx解：令2x，则原式105，将105分解成3个质因数的积，即105357；注意到多项式中最高项的系数为1，而357、、分别为135xxx、、在2x时的值，则原式135xxx12、待定系数法：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。【例12】分解因式432564xxxx分析：易知该多项式没有一次因式（理由略），因而只能分解为两个二次因式。解：设43222564xxxxxaxbxcxd432xacxacbdxadbcxbd比较系数可得1564acacbdadbcbd，解得1124abcd∴原式22124xxxx