自动控制原理第五章 频率响应法3

15-6频域稳定判据（奈氏判据）（1）根据闭环系统的开环频率特性判断闭环系统稳定性的一种判据，当系统含某些非最小相位环节(如延迟环节)也能判据。（2）该判据可以通过实验法获得系统开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，使用方便。（3）该判据能指出提高和改善系统动态性能的途径(环节类型和参数变化)，因而这种方法在工程上获得广泛的应用。奈氏判据特点：2幅角原理设n阶特征多项式22()()()()nDsspspsp其中是特征多项式n个根。,1,2,,ipin用代替s，则j22()()()()nDjjpjpjp若D(s)有P个根位于s平面的右半平面，n-P个根位于s左半平面当频率由变化到时，复数的幅角增量为：j)2()()(argPnPPnjD5.6.1基于幅相特性曲线的稳定性判据oj)(pnp逆时针旋转为正顺时针旋转为负3ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHjG)()(jHjG1平面GH曲线对原点的包围，恰等于)()(jGjH)()(1jGjH曲线对(-1,j0)点的包围图形向左平移1＝0～＝0～4oj平面SjeS＝jeS＝00o]Re[GH平面GHjeS＝0]Im[GH-100je)12)(1(2)(SSSSG0P2Z直线曲线大园原点小园大园5奈奎斯特稳定性判据C(s)R(s)G(s)H(s)图5.41典型反馈控制系统11()()()NsGsDs22()()()NsHsDs开环传递函数1212()()()()()()NsNsGsHsDsDs开环系统的特征方程为12012()()()()()()onDsDsDsaspspsp其中开环传递函数的极点。,1,2,,ipin闭环传递函数211212()()()()1()()()()()()DsNsGssGsHsDsDsNsNs闭环系统的特征方程为1212012()()()()()()()()cnDsDsDsNsNsCssssss其中闭环传递函数的极点。,1,2,,isin6引入辅助函数F(s),其定义为121212()()()()()1()()()()DsDsNsNsFsGsHsDsDs012012()()()()()()()()ncnoCssssssDsaspspspDs辅助函数F(s)是闭环（分母）特征多项式和开环（分母）特征多项式之比由幅角原理可得()[1()()]argargFjGjHj()()argargcoDjDj7（1）开环传递函数和闭环传递函数均不存在右半平面的极点()()()0argargargcoFjDjDjnn由幅角原理:（2）开环传递函数在s右半平面有P个极点闭环传递函数在s右半平面有Z个极点()()()argargargcoFjDjDj上式表明，曲线绕坐标原点逆时针旋转圈。()Fj由于()1()()FjGjHj即()()GjHj曲线绕(-1,j0)点逆时针旋转圈。'N'N)2()(argPnjD22)()2()2(NZPPnZnNZP(0,j0)点8ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHjG)()(jHjG1平面GH曲线对原点的包围，恰等于)()(jGjH)()(1jGjH曲线对(-1,j0)点的包围当时，则有由0令2PZN则2ZPN时()()GjHj曲线绕(-1,j0)点逆时针旋转圈。N所以，当由0小结：把闭环传递函数的极点Z用开环传递函数的极点P和曲线绕(-1,j0)点逆时针旋转圈数N表示。图形向左平移12)2()(arg0ZPjF9基于幅相特性的奈奎斯特稳定性判据在幅相曲线图上，绘制由0的开环幅相曲线(奈氏曲线)，闭环系统位于s右半平面上的极点个数为Z，则2ZPNP——开环传递函数位于s右半平面的极点个数。N——开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数，逆时针包围为正，顺时针包围为负。Z——闭环系统位于s右半平面上的极点个数。时，则闭环系统是稳定的。0Z表明时闭环系统在s右半平面上无极点，则系统稳定。10闭合曲线ГGH包围(-1,j0)点的圈数，仅仅与幅相曲线ReIm0-1++--R的确定方法穿越实轴区间(-,-1)的次数有关。把自上向下(逆时针)穿越这个区间的次数表示为N把自下向上(顺时针)穿越这个区间的次数表示为N幅相曲线在负实轴(-.-1)区间的正负穿越如图所示右图中2N2N220NNN注意：若穿越时从这个区间的实轴上开始时记为半次正(半次负)穿越。2RN11稳定性分析举例(1)开环传递函数不含积分环节（0型系统）直接采用Z=P-2N的稳定性判据例1给出来三个开环传递函数不含有积分环节的奈氏曲线，试判断系统的稳定性。ReIm00-1KP=0,N=0Z=P-2N=0该闭环系统稳定。（a）P＝0奈氏曲线)1)(1()(21STSTKSGa12ReIm00-1K(b)P=0,Z=P-2N=2闭环不系统稳定。ReIm00-1K(c)P=1,Z=P-2N=0闭环系统稳定。奈氏曲线图)1)(1)(1()(321STSTSTKSGb)1()(TSKSGc110NNN21210NNN13(2)开环传递函数含ν个积分环节ν型系统绘制开环幅相曲线后，应从频率0+对应的点开始，逆时针补画ν/4个半径无穷大的圆。ReIm00-10(a)ν=1,从0补画半径为无穷大的1/4园。P=0,N=0，Z=0，所以，闭环系统稳定。例2.1给出含有1个积分环节的开环系统幅相曲线，试判断系统的稳定性。点逆时针奈氏曲线图)1()(TSSKSGa14ReIm00-10P=0,N=0，Z=0，(b)由于ν＝2，从点逆时针0补画半径为无穷大的半园。所以，闭环系统稳定。2)1()(STSKSGb奈氏曲线图例2.2给出含有两个积分环节的开环系统幅相曲线，试判断系统的稳定性。15ReIm00-10＝P=0,N=-1，Z=2该闭环不系统稳定。P=1,N=-1/2，Z=1-2(-1/2)=2虚线的终端落在负实轴上该闭环系统不稳定。ReIm000＝)1()(2TSSKSGc)1(10)(TSSSGd(c)由于ν＝2，从点逆时针0补画半径为无穷大的半园。奈氏曲线图(d)ν=1,从点逆时针0补画半径为无穷大的1/4园。16(3)开环传递函数串联延迟环节的稳定性分析例3已知具有延迟环节的控制系统结构图如图5.47所示，其中Gp(s)传递函数为()(1)pKGssTs试分析其稳定性。()pGsse-图（a）系统结构图图（b）开环奈奎斯特曲线321()解：分别取1230、、、的奈奎斯特曲线，如图5.47（b）所示，其中321ReIm00123-1当和时系统是稳定的，时系统临界稳定的，时系统不稳定。0123实际螺旋线17ReIm0-10.5-1.5-2ABC0例4已知最小相位系统的幅相频特性曲线，该曲线与实轴的交点为A、B、C点，相应三点的频率为试确定开环增益K的稳定范围。cba、、K减小临界稳定值临界稳定值临界稳定值ccbbaaKKK解：稳定范围：abcKKKKKabcKKK25.03218例5开环传递函数串联延迟环节的稳定性分析jejjG12)(ReIm00K(-1,0j)112)(2A011803.57tg临界稳定条件：求得：321.13323)(3.573)3180(1803.573331001tgtg195.6.2在对数坐标图上应用奈奎斯特稳定性ReIm00-1ABC1)()(jHjG1)()(jHjGc124100.420040-20-40-90-180-270201004010002004000.1dBGHLlg20)(sradlgsradlg0)(cabc02ZPNNNN20题号开环极点穿越负实轴次数奈氏判据闭环极点闭环系统(1)P=0Z=P-2N=2不稳定(2)P=0Z=P-2N=0稳定(3)P=0Z=P-2N=2不稳定(4)P=0Z=P-2N=0稳定(5)P=0Z=P-2N=2不稳定(6)P=0Z=P-2N=0稳定(7)P=0Z=P-2N=0稳定(8)P=1Z=P-2N=0稳定(9)P=1Z=P-2N=1不稳定(10)P=1Z=P-2N=2不稳定110NNN000NNN110NNN000NNN110NNN011NNN011NNN21210NNN000NNN21210NNNP1785.12判断闭环系统是否稳定,0,0KTi21P1795.13（1）ReIm00K(-1,0j)2.0)1()(jejjKjG11)(2KA0101803.572.090tg临界稳定条件：2.52.2Ksradc试探法求得：22P1795.13（2）ReIm00K(-1,0j))125.0()(jjKjG125.01)(2KA01018025.090tg临界稳定条件1：sradc试探法求得：0K)()()()(jIReAjGj0)(I幅相曲线穿越负实轴（－1，0j）点：1)(R临界稳定条件2：23ReIm00-1A-0.05B-20C-50P1795.14临界稳定值临界稳定值临界稳定值02.005.020ccbbaaKKK解：稳定范围：abcKKKKKabcKKK5002050005.050002.0KK245.7频域稳定裕度（量）——相对稳定性相对稳定性反映出系统稳定程度的好坏。闭环控制系统相对稳定性（时域中，超调量%，根与虚轴距离）可以通过开环频率特性加以描述。奈氏（幅相）曲线与临界点（－1，0j）的靠近程度，可以用来度量稳定裕度，在实际工程系统（控制、电子、通信系统）中常用相角（位）裕度（量）和幅值裕度（量）Kg=h表示。一般来说，相角裕度和幅值裕度概念只适用于最小相位控制系统(但可含滞后环节)。25举例说明ReIm0-1ReIm0-1ReIm0-1ReIm0-1th(t)0th(t)0th(t)0th(t)0a系统不稳定(a)(b)b系统临界稳定(-1,j0)为临界点(c)(d)c、d系统稳定幅相曲线越远离临界点，系统的稳定程度越好)1)(1()(21jTjTjKjG26幅值裕度又称增益裕度(GainMargin)相角为-180°点频率为相角交界频率定义幅值裕度为幅值裕度h的物理意义：对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将变为临界稳定状态。h值越大，保证系统稳定工作的前提下，允许开环增益变化值特大。若以分贝表示，则