自动控制理论-频率法

第5章频率法5-1频率特性的概念5-2典型环节的频率特性5-4控制系统的频域稳定判据（奈氏判据）5-5稳定裕量5-6开环系统频率特性与闭环系统性能的关系5-3开环系统频率特性图的绘制基本思想：通过开环频率特性的图形对系统进行分析。数学模型——频率特性。主要优点：（1）不需要求解微分方程；（2）形象直观、计算量少；（3）可方便设计出能有效抑制噪声的系统；5-1频率特性的概念一、频率特性的基本概念11jRC频率响应：系统对正弦输入的稳态响应。11sinuUt在稳态情况下，输出电压22sinuUωt211j1jUCURC该电路的频率特性频率特性的定义：零初始条件的线性系统或环节，在正弦信号作用下，稳态输出与输入的复数比。与传递函数的关系：j(j)()sGGs11jT一般用这两种方法已知系统的运动方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比；根椐传递函数来求取；通过实验测得。A(ω)称幅频特性，φ(ω)称相频特性，G(jω)称为幅相频率特性。二、频率特性的求取()(j)()(j)AGGj()(j)()eGA21arctan()UUT22111()UTU三、频率特性的物理意义频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。【例】某单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin2t时系统的稳态输出y(t)。解：系统的频率特性=2时，则系统稳态输出为：y(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)BBj(j)()sGGsB()1()1()2GsGsGssB1(j)j2G2212Aatan(2)0.35Ao45四、闭环频域性能指标（1）零频振幅比A(0)指零频(ω=0)时，系统稳态输出与输入的振幅比。A(0)与1之差的大小，反映了系统的稳态精度.（2）谐振峰值Ar是指幅频特性A(ω)的最大值.反映了系统的平稳性。（3）频带宽度ωb是指幅频特性A(ω)从A(0)衰减到0.707A(0)时所对应的频率,也称截止频率。反映了系统的快速性。（4）相频宽ωbφ是指指相频特性ψ(ω)=-π/2时所对应的频率。反映了系统的快速性。.0ArbrA0707.0A2b0A频域性能指标图示五、频率特性的图形表示方法1）直角坐标系直接图示法（）2）对数频率特性曲线（Bode图）3)幅相频率特性曲线（又称极坐标图PolarPlot或奈氏图）()A()()L()()20lg()LAemRI（）em(j)RjIG半对数坐标系比例环节积分环节微分环节惯性环节（一阶系统）一阶微分环节振荡环节（二阶系统）一阶不稳定环节5-2典型环节的频率特性一、比例环节传递函数:频率特性:2.对数频率特性3.幅相频率特性GsKjGK1.幅频特性及相频特性AAK()020lg20lgLAK()0jj0GK,L20lgK00,AK00ImRe,j0K0二、积分环节传递函数:频率特性:2.对数频率特性1Gssπj211(j)ejG1.幅频特性及相频特性A1A()220lg20lgπ2LA120lg20lg20lg1jjjπ()2nnAnGn,A5.0π220210.1,L020dBdec203.幅相频率特性1jj1j10jGImRe00三、微分环节传递函数:频率特性:2.对数频率特性Gssπj2(j)jeG1.幅频特性及相频特性AA()220lg20lgπ2LA20lg20lgj20lgjjπ()2nnAnGn3.幅相频率特性jj0jG,A201,L20dBdec20ImRe0090四、惯性环节（一阶系统）传递函数:频率特性:频带越宽，调节时间越短。1()1GsTs1(j)j1GT1.幅频特性及相频特性A2211AT()arctanT()0.707(0)4AA(2)b1Tsb33tT(1)当时1T2.对数频率特性22221()20lg()20lg120lg1LATT1T17.0420,A,L420dB3精确曲线T1近似曲线五、一阶微分环节传递函数:频率特性:2.对数频率特性()1Gss(j)1jG1.幅频特性及相频特性A21A()arctan()2220lg1Lω≤，1ω≥1()20lgL0L,L20dBdec200114ImRe0090013.幅相频率特性六、振荡环节（二阶系统）传递函数:频率特性:1.幅相频率特性2n222nnnn1()221Gsssss2nn1(j)j2j1G2nn22222222nnnn12(j)jj1212GUV（特征点——起始点、中间点、终止点）o1,0A1π,22A0,πA当ω=0时，U(ω)=1,V(ω)=0.起始点在实轴上的（1，j0）处。当ω=ωn时，U(ω)=0,V(ω)=-1/2ζ。当ω=∞时，U(ω)=0,V(ω)=0。ImRe010A大小n12由幅相特性曲线可得:当ωωn时，幅值迅速衰减，且衰减的速度要高于一阶系统。on,0~90on,90oon,90~1802.幅频特性及相频特性A222nn1j12AG•相频特性on,0~90on,90oon,90~180nn2nnnn2n2arctan122arctan12nn22222222nnnn12(j)j1212G特征点1:特征点2:谐振频率谐振峰值,An020.30.50.70710.7070.30.5rnn122A2rn12r2121A时n令d0dA0.707Abn00.707，出现谐振0.707阶跃响应既快又稳，比较理想（也称为“二阶最佳”）此时:3.对数频率特性222nn()20lg12L求近似对数幅频特性曲线:（首先令ζ=1，无谐振，0ζ0.707，有谐振，加修正）2n()20lg1L对数幅频特性曲线:当ω/ωn≤1时，0L当ω/ωn1时，n40lgLnL040dBdecn相频特性曲线:n2.07.0102七、一阶不稳定环节传递函数:频率特性:1.幅相频率特性一阶不稳定系统的幅相频率特性是一个为（-1，j0）为圆心，0.5为半径的半圆。11GsTs1jj1GT2211TjjjVjT11T1TGU2221122UVImRe0A5.01T10OO18090非最小相位系统在s右半平面有极点或零点的系统称为非最小相位系统221j1AGT()arctanT2.幅频特性及相频特性A3.最小相位系统和非最小相位系统的对数频率特性因此，这两个系统的幅频特性完全相同。相频特性2111aTsGsTs2111bTsGsTs其中210TT2111aTjGjTj2111bTjGjTjabLL21arctanargtanaTT21arctanargtanbTTFrequency(rad/sec)Phase(deg);Magnitude(dB)BodeDiagrams-8-6-4-20From:U(1)10-410-310-210-1100101102103104-200-150-100-500To:Y(1)最小相位系统相位变化最小非最小相位系统最小相位系统非最小相位系统的判别方法延迟环节是一个典型的非最小相位系统•最小相位系统的相位为90nm•非最小系统的相位90nm当时，5-3开环系统频率特性图的绘制一、系统开环对数频率特性图（Bode图）当n个环节串联时11()20lg(j)20lg(j)()nniiiiLGGL11()(j)(j)()nniiiiGG例5-1绘制图5-24所示系统的开环Bode图解:(1)写出系统的开环频率特性(标准的时间常数形式)RsYsEs2410.51210.058sssss241j0.5jjj1j21j0.058G解:(1)写出系统的开环频率特性(标准的时间常数形式)(2)按照转折频率的大小依次分解成典型环节，比例和积分环节除外。241j0.5jjj1j21j0.058G211,1j0.51j21j1j0.058Kj解:(3)分别写出每个环节的对数幅频和相频特性。(4)写出整个开环系统对数幅频和相频特性。(5)在半对数坐标下分别绘出单个环节的Bode图。(6)叠加得到整个系统的Bode图。2111,1j0.51j2j1j0.058Kj解:ωc的确定ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω11223320lg420lg20lg420lg20lg220lg420lg20lg220lg0.520lg420lg20lg220lg0.540lg8L1212(1)(1)(1)()(),()(1)(1)(1)mvnKsssGsHsnmsTsTsTs1、确定幅相曲线的起点和终点，方法如下：（１）起点：此时，除比例、积分