2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件2(3)：基本初等函数及应用

§3基本初等函数及函数的应用真题热身1．(2011·安徽改编)若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列四个点也在此图象上的是________．(填序号)①(1a，b)；②(10a,1－b)；③(10a，b＋1)；④(a2,2b)．解析由点(a，b)在y＝lgx图象上，知b＝lga.对于①，点(1a，b)，当x＝1a时，y＝lg1a＝－lga＝－b≠b，∴不在图象上．对于②，点(10a,1－b)，当x＝10a时，y＝lg(10a)＝lg10＋lga＝1＋b≠1－b，∴不在图象上．对于③，点(10a，b＋1)，当x＝10a时，y＝lg10a＝1－lga＝1－b≠b＋1，∴不在图象上．对于④，点(a2,2b)，当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，∴该点在此图象上．答案④2．(2011·重庆改编)设a＝log12，b＝log23，c＝log343，则a，b，c的大小关系是________．1313解析c＝log343＝log34，又122334且函数f(x)＝logx在其定义域上为减函数，所以log12log23log34，即abc.1313131313cba3．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______________．解析函数f(x)的定义域为－12，＋∞，令t＝2x＋1(t0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在－12，＋∞上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为－12，＋∞.－12，＋∞4．(2011·课标全国改编)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有______个．解析如图，作出图象可知y＝f(x)与y＝|lgx|的图象共有10个交点．10考点整合1．二次函数(1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．(2)注意三个“二次”的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”2．指数函数与对数函数的性质指数函数y＝ax对数函数y＝logax定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性a1时为增函数，0a1时为减函数a1时为增函数，0a1时为减函数奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数图象特征图象始终在x轴上方图象始终在y轴右侧3.函数与方程(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．4．函数思想的应用(1)方程根的分布或根的个数，转化为相应函数零点的分布或个数．对于一元二次方程实根分布的解决思路及方法是：设二次方程对应的二次函数，然后利用其图象(注意开口的确定)的特征，对判别式、给定区间边界的函数值、对称轴与该区间的关系作全面分析，列出不等式关系，从而解决问题．(2)不等式恒成立问题：af(x)恒成立⇒a[f(x)]max；区别：af(x)有解⇒a[f(x)]min；a＝f(x)有解⇒a∈f(x)的值域．(3)主元法：这是函数思想的一个直接应用．(4)证明不等式要证f(x)g(x)，只需证f(x)－g(x)0，即证φ(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，转化为求函数的最值问题，而这是导数的基本题型．(5)有些比较几个代数式或数式大小的题目，需要构造对应的函数，利用函数图象或函数的单调性进行比较．分类突破一、二次函数的图象与性质例1已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设h(x)＝f(x)x，若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝x2＋x＋1，x0，x2－x＋1，x≥0.作图(如下图所示)．(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.若a≠0，则f(x)＝a(x－12a)2＋2a－14a－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝12a.当a0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.当012a1，即a12时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2.当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，g(a)＝f(12a)＝2a－14a－1，当12a2，即0a14时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.综上可得g(a)＝6a－3，a14，2a－14a－1，14≤a≤12，3a－2，a12.(3)当x∈[1,2]时，h(x)＝ax＋2a－1x－1，在区间[1,2]上任取x1，x2，且x1x2，则h(x2)－h(x1)＝(ax2＋2a－1x2－1)－(ax1＋2a－1x1－1)＝(x2－x1)(a－2a－1x1x2)＝(x2－x1)·ax1x2－(2a－1)x1x2.因为h(x)在区间[1,2]上是增函数，所以h(x2)－h(x1)0，因为x2－x10，x1x20，所以ax1x2－(2a－1)0，即ax1x22a－1，当a＝0时，上面的不等式变为0－1，即a＝0时结论成立．当a0时，x1x22a－1a，由1x1x24得，2a－1a≤1，解得0a≤1，当a0时，x1x22a－1a，由1x1x24得，2a－1a≥4，解得－12≤a0，所以，实数a的取值范围为[－12，1]．归纳拓展本题是一道函数的综合问题，涉及函数的图象、函数的最值、恒成立问题，第(2)问中不要忘记对a＝0的讨论，同时对于二次函数的含参的最值问题：定区间动轴、动区间定轴、动区间动轴动开口等各类问题的研究方法注意总结，导数是研究函数单调性的常用方法，请同学们用导数方法研究第(3)问，注意解法的对比．变式训练1设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)．(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a2，求函数f(x)的最小值．解(1)由已知f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.(2)f(x)＝x2＋2x－a，x≥12a，x2－2x＋a，x12a，当x≥12a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，由a2，x≥12a，得x1，从而x－1，故f(x)在x≥12a时单调递增，f(x)的最小值为f(a2)＝a24；当x12a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，故当1≤xa2时，f(x)单调递增，当x1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a－1.由a24－(a－1)＝(a－2)240，知f(x)的最小值为a－1.二、指、对函数的图象与性质例2(1)设a＝log2，b＝log13，c＝(12)0.3，则a、b、c的大小关系为________．(2)若abc0，则log2(a＋1)a，log2(b＋1)b，log2(c＋1)c的大小关系为________________．1312解析(1)a＝log2＝－log320，b＝log13＝log231，c＝(12)0.3,0c1，∴acb.1312(2)构造函数f(x)＝log2(x＋1)，问题就是函数f(x)图象上的三个点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率大小的比较，观察图象得，log2(a＋1)alog2(b＋1)blog2(c＋1)c.答案(1)acb(2)log2(a＋1)alog2(b＋1)blog2(c＋1)c归纳拓展(1)利用指数函数与对数函数的单调性比较多个数值的大小时，一般也采用媒介法，即先判断这组数中每个数值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．(2)运用函数的思想比较大小就是要从特殊的、具体的几个函数值中抽象出对应的函数，有了函数，我们就可以利用函数的图象和性质解决问题．变式训练2(1)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系为________．解析∵a＝log3π1，b＝12log231，c＝12log321，∴ab，ac.又log23log32＝lg23lg221，∴bc，∴abc.abc解析由f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是周期为4的周期函数，于是可得f(x)在(－2,6]上的草图如图中实线所示，(2)设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是________．而函数g(x)＝loga(x＋2)(a1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需g(2)3，g(6)3.所以loga43，loga83.解得34a2.答案(34，2)三、函数零点的判断问题例3(2011·湖南改编)已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x.求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由．解由题意知，x∈[0，＋∞)，h(x)＝x3－x－x，h(0)＝0，且h(1)＝－10，h(2)＝6－20，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点．因此，h(x)至少有两个零点．方法一h′(x)＝3x2－1－12x，记φ(x)＝3x2－1－12x，则φ′(x)＝6x＋14x.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)0，φ(33)0，则φ(x)在(33，1)内有零点，所以φ(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x1，则当x∈(0，x1)时，φ(x)φ(x1)＝0；当x∈(x1，＋∞)时，φ(x)φ(x1)＝0.－12－12－32所以当x∈(0，x1)时，h(x)单调递减，而h(0)＝0，则h(x)在(0，x1]内无零点；当x∈(x1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．方法二由h(x)＝x(x2－1－x)，记φ(x)＝x2－1－x，则φ′(x)＝2x＋12x.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．－12－12－32归纳拓展函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．另外，判断零点个数时