2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件4(1)：数列、推理与证明

专题四数列、推理与证明§1等差数列、等比数列真题热身1．(2011·大纲全国改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________.解析∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.52．(2011·天津改编)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为________．解析∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.1103．(2011·四川改编)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则an＝________________.解析当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝1(n＝1)，3×4n－2(n≥2).1(n＝1)，3×4n－2(n≥2)4．(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.解析设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S9－S4＝0，即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0.而ak＋a4＝0，故k＝10.10考点整合1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(3)前n项和公式：Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)d2.(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．③等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列．注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成an＝pn＋q的形式，前n项和公式可写成Sn＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．2．等比数列(1)定义式：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)通项公式：an＝a1qn－1.(3)前n项和公式：Sn＝na1(q＝1)，a1(1－qn)1－q(q≠1).(4)等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)．②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p，q，m，n∈N*)．③等比数列中，q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列．注意：(1)a2n＝an－1an＋1是an－1，an，an＋1成等比数列的必要不充分条件．(2)利用等比数列前n项和的公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论．分类突破一、等差数列的有关问题例1已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}的前n项和Sn的最大值．解(1)设{an}的公差为d，由已知条件，a1＋d＝1，a1＋4d＝－5，解得a1＝3，d＝－2.所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5(n∈N*)．(2)Sn＝na1＋n(n－1)2d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以当n＝2时，Sn取得最大值4.归纳拓展(1)涉及等差数列的有关问题时往往用待定系数法“知三求二”进而解决问题；(2)等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值，有时利用数列的单调性(d0，递增；d0，递减)；(3)等差数列的性质：设m、n、p、q为自然数，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.变式训练1数列{an}是等差数列，若a11a10－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝________.解析∵{an}的前n项和Sn有最大值，∴数列为递减数列．又a11a10－1，∴a100，a110，得a10＋a110.而S19＝19(a1＋a19)2＝19·a100，S20＝20(a1＋a20)2＝10(a10＋a11)0.故当n＝19时，Sn取得最小正值．19二、等比数列的有关问题例2(2011·安徽)在数1和正实数a之间插入n个正实数，使得这n＋2个数构成等比数列，将这n＋2个数的乘积记作bn，且an＝logabn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝a，则bn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①bn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1.②①×②并利用ti·tn＋3－i＝t1tn＋2＝a(1≤i≤n＋2)，得b2n＝(t1tn＋2)·(t2tn＋2)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝an＋2，又bn0，∴bn＝a，an＝12(n＋2)．12(n＋2)).1(1)1(),1(.1)1(,1;,1.}{);()2(212232122321)2(21)3(211aaaaanSaaaSanSabaaabbnnnnnnnnnn时当时当为等比数列常数归纳拓展在等比数列{an}中，设公比为q，(1)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq；当m＋n＝2p时，am·an＝a2p；(2)若{bn}为等比数列，公比为Q(Q≠0)，则{an·bn}仍为等比数列，公比为q·Q；{anbn}为等比数列，公比为qQ；(3)若{an}成等比数列且an0(n∈N*)，则logaan成等差数列，反之也对；(4)等比数列{an}的前n项积为Vn，则Vn＝an1·qn(n－1)2(n∈N*)．灵活运用两类数列的上述性质解题，可使问题化繁为简，化难为易，减少解题运算量．变式训练2(2011·四川)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．(1)解由已知，得an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.解得q＝1±52.(2)证明若q＝1，则{an}的各项均为a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即a(qm－1)q－1＋a(ql－1)q－1＝2a(qn－1)q－1，整理得qm＋ql＝2qn.因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k.所以，am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．三、等差、等比数列的综合问题例3将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…………………………记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1.Sn为数列{bn}的前n项和，且满足2bnbnSn－S2n＝1(n≥2)．(1)证明：数列1Sn成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．(1)证明由已知，当n≥2时，2bnbnSn－S2n＝1，又Sn＝b1＋b2＋…＋bn，所以2(Sn－Sn－1)(Sn－Sn－1)Sn－S2n＝1，即2(Sn－Sn－1)－Sn－1Sn＝1，所以1Sn－1Sn－1＝12，又S1＝b1＝a1＝1.所以数列1Sn是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1Sn＝1＋12(n－1)＝n＋12，即Sn＝2n＋1.所以，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝－2n(n＋1).因此，bn＝1，n＝1，－2n(n＋1)，n≥2.(2)解设上表中从第3行起，每行的公比都为q，且q0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第3列，因此a81＝b13·q2＝－491.又b13＝－213×14，所以q＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，则S＝bk(1－qk)1－q＝－2k(k＋1)·(1－2k)1－2＝2k(k＋1)(1－2k)(k≥3)．归纳拓展数列项的变化呈规律性，这是等差、等比数列的特征，在高考中，这种变化的规律性经常用数表或图形给出，也可以是给出信息根据新信息解题，对考查学生的创新能力提出了较高的要求．解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理，综合运用新的信息和数学知识分析，解决新情境问题．变式训练3(2011·山东)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1.(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋(n－12－n)ln3＝3n－n－12ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.规范演练一、填空题1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为________．解析∵a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24.∴2a9－a10＝2(a8＋d)－(a8＋2d)＝a8＝24.242．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为________．解析由2S4＝S5＋S6，得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得q2＋q－2＝0，∴q＝1，q＝－2.经检验q＝1不适合，∴q＝－2.－23．等差数列{an}的公差d0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项an＝____________(n∈N*)．解析a2＋a4＝8，a2a4＝12，d0，即a1＋d＋a1＋3d＝8，(a1＋d)(a1＋3d)＝12，d0，即a1＝8，d＝－2，∴an＝－2n＋10.－2n＋104．(2010·湖北改编)已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8的值为__________．解析设等比数列{an}的公比为q，∵a1，12a3,2a2成等差数列，