2011届高考文科数学新课标江苏版专题5：直线与圆

第10讲直线与圆第11讲圆锥曲线定义、方程与性质第12讲直线，圆与椭圆的综合运用专题5平面解析几何专题5平面解析几何知识网络构建专题5│知识网络构建专题5│知识网络构建专题5│知识网络构建考情分析预测专题5│考情分析预测1．三年高考回顾年份内容题号与分值2008直线与方程椭圆与圆综合圆的方程第8题5分；第12题5分；第18题16分．2009椭圆综合直线与圆综合第13题5分；第18题16分．2010双曲线直线与圆椭圆综合第6题5分；第9题5分；第18题16分.专题5│考情分析预测2.命题特点探究近三年江苏试题特点：①一般是两个填空题和一个解答题，分值26分左右；②关注解析几何本质知识的考查，很少与其他知识交汇，比如和三角向量交汇等；③解答题中研究变化之中不变的量(含参数方程恒成立问题)问题受到青睐；④试题运算量大，区分度高．专题5│考情分析预测3．命题趋势预测2011年江苏高考对解析几何的考查仍然会坚持前几年的原则不变，需要关注以下几个问题：①求直线方程和圆的方程、研究直线与圆的位置关系仍然是考试命题的主要来源．②圆锥曲线(主要是椭圆)中的定义、离心率、焦点三角形等知识一般是填空题的中高档试题，有一定的难度，计算量有时会比较大，而且方法比较灵活，复习时要注意多加强这方面的训练．③试题会突出解析几何问题的几何特征，让学生用几何的眼光看待解析几何问题，关注能力(特别是运算能力)的考查．④在研究直线(点)与圆的位置关系时，先套上一个简单的椭圆问题，这一类型的问题值得关注．第10讲直线与圆第10讲│直线与圆主干知识整合第10讲│主干知识整合1．平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则(1)直线l1∥l2的充要条件是k1＝k2且b1≠b2.(2)直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合．若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.2.对称问题(1)点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设P(x0，y0)，对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．第10讲│主干知识整合(2)点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”、“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．一般情形如下：设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b，可求出x′、y′.特殊地，点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x0，y0)；点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为P′(x0，2b－y0)．第10讲│主干知识整合(3)曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化)．一般结论如下：曲线f(x，y)＝0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2a－x,2b－y)＝0.第10讲│主干知识整合(4)曲线f(x，y)＝0关于直线y＝kx＋b的对称曲线的求法：设曲线f(x，y)＝0上任意一点为P(x0，y0)，P点关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x，y)，则由(2)知，P与P′的坐标满足y－y0x－x0·k＝－1，y0＋y2＝k·x0＋x2＋b，从中解出x0、y0，代入已知曲线f(x，y)＝0，应有f(x0，y0)＝0.利用坐标代换法就可求出曲线f(x，y)＝0关于直线y＝kx＋b的对称曲线方程．第10讲│主干知识整合3．圆的方程圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*)体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数相等且不为零，没有xy项．当D2＋E2－4F＝0时，方程(*)表示点－D2，－E2，当D2＋E2－4F＜0时，方程(*)不表示任何图形．4．点与圆的位置关系点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有三种：若d＝a－x02＋b－y02，则dr⇔点P在圆外；d＝r⇔点P在圆上；dr⇔点P在圆内．第10讲│主干知识整合5．直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有三种：dr⇔相离⇔Δ0；d＝r⇔相切⇔Δ＝0；dr⇔相交⇔Δ0.其中d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2.6．两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d.dr1＋r2⇔外离⇔4条公切线；d＝r1＋r2⇔外切⇔3条公切线；|r1－r2|dr1＋r2⇔相交⇔2条公切线；d＝|r1－r2|⇔内切⇔1条公切线；0d|r1－r2|⇔内含⇔无公切线．第10讲│主干知识整合7．圆的切线方程(1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是(2x0＋D)(x－x0)＋(2y0＋E)(y－y0)＝0；当(x0，y0)在圆外时切线有两条，x0x＋y0y＋Dx0＋x2＋Ey0＋y2＋F＝0表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点(x0，y0)的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为y＝kx＋b，再利用相切的条件求b，必有两条切线．第10讲│主干知识整合(2)已知圆x2＋y2＝r2.①过圆上的P0(x0，y0)点的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②斜率为k的圆的切线方程为y＝kx±r1＋k2.要点热点探究第10讲│要点热点探究例1已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝2时，求直线CD的方程；(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．►探究点一直线与圆的方程的探求第10讲│要点热点探究【解答】(1)设P(2m，m)，由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解之得m＝0，m＝45，故所求点P的坐标为(0,0)或85，45.(2)设直线CD的方程为：y－1＝k(x－2)，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为22，所以22＝|－2k－1|1＋k2，解得，k＝－1或k＝－17，故所求直线CD的方程为x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.第10讲│要点热点探究(3)设P(2m，m)，MP的中点Qm，m2＋1，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为(x－m)2＋y－m2－12＝m2＋m2－12，化简得x2＋y2－2y－m(x＋y－2)＝0，此式是关于m的恒等式，故x2＋y2－2y＝0，x＋y－2＝0，解得x＝0，y＝2，或x＝1，y＝1.所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0,2)或(1,1)．第10讲│要点热点探究【点评】第一与第二问是平面几何性质与代数计算相结合，这种运用要多加关注，第三问求圆的方程时注意到利用定义，求定点时用了等式恒成立思想，这种方法很重要．第10讲│要点热点探究已知⊙C1：x2＋(y＋5)2＝5，点A(1，－3)．(1)求过点A与⊙C1相切的直线l的方程；(2)设⊙C2为⊙C1关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．►探究点二直线与圆的位置关系第10讲│要点热点探究【解答】(1)C1(0，－5)，r1＝5，因为点A恰在⊙C1上，所以点A即是切点，kC1A＝－3＋51＝2，所以k1＝－12，所以直线l的方程为y＋3＝－12(x－1)，即x＋2y＋5＝0.第10讲│要点热点探究(2)因为点A恰为C1C2的中点，所以C2(2，－1)，所以⊙C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，设P(a,0)，PC21－5PC22－5＝2①，或PC22－5PC21－5＝2②，由①得，a2＋20a－22－4＝2，解得a＝－2或10，所以，P(－2,0)或(10,0)；由②得，a2－4aa2＋20＝2，此方程无解．综上，存在两点P(－2,0)或P(10,0)适合题意．第10讲│要点热点探究【点评】对称思想是近几年高考中的热点，它主要分为中心对称和轴对称两种，解对称问题要把握对称的实质，掌握其解题方法，提高解题的准确性和解题的速度．第10讲│要点热点探究已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1)，且圆C在点P处的切线的斜率为1.(1)试求圆C的方程；(2)若点A、B是圆C上不同的两点，且满足CP→·CA→＝CP→·CB→，①试求直线AB的斜率；②若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在y轴上的截距的范围．图5－10－1第10讲│要点热点探究【解答】(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C－D2，－E2，且PC的斜率为－1.所以1＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，－D2＝2＋m2，－E2－0－D2－m＝－1，解得D＝1，E＝5，F＝－6，m＝－3，所以圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.第10讲│要点热点探究(2)①CP→·CA→＝CP→·CB→⇔CP→·(CA→－CB→)＝0⇔CP→·AB→＝0⇔CP⊥AB，所以AB的斜率为1.②设直线AB的方程为y＝x＋t，代入圆C方程得2x2＋(2t＋6)x＋t2＋5t－6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ0⇔－7t3，x1＋x2＝－t－3，x1x2＝t2＋5t－62，原点O在以AB为直径的圆的内部，即OA→·OB→0⇔x1x2＋y1y20，整理得，t2＋2t－60⇔－7－1t7－1.第10讲│规律技巧提炼1．平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率．2．在解答有关直线的问题时，要注意：(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解；(4)在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．规律技巧提炼第10讲│规律技巧提炼3．要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意对x、y的系数中一个为零的情况的讨论．4．对称问题分为点对称及轴对称．点对称仅用中点坐标公式即可解决，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决．特别是关于原点对称、坐标轴对称、直线x±y＝0对称都要熟练掌握．对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理．5．许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等．课本挖掘提升第10讲│课本挖掘提升苏教版必修2课本P105第6题与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．图5－10－2第10讲│课本挖掘提升【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝2【解析】曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心到直线x＋y－2＝0的距离为d＝|6＋6－2|2＝52.所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，其到直线x＋y－2＝0的距离为2，圆心坐标为(2,2)．标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.第10讲│课本挖掘提升【点评】直线与圆的方程问题常借