第五章 弯曲位移

第五章梁弯曲时的位移位移的度量§1梁的位移---挠度及转角ω－挠度θ－转角挠曲线－－梁变形后各截面形心的连线ClFABCCABBxy挠度向下为正，向上为负.转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。§2梁的挠曲线近似微分方程及积分ZEIxM)(13222)(11dxddxdZEIxMdxddxd)()(13222ZEIxMdxd)(22xoyMM022dxydZEIxMdxd)(22xoyMM022dxydZEIxMdxd)(22梁挠曲线近似微分方程1)(CdxEIxMdxdZZEIxMdxd)(22CCABBxy在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。dxdtan通过积分求弯曲位移的特征：1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。3、积分常数由位移边界条件确定。积分常数C1、C2由边界条件确定0xLx0x0Xy0Xy00求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。例题5.1边界条件求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。例题5.3AC段CB段求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。例题5.3最大转角力靠近哪个支座，哪边的转角最大。最大挠度令x=a转角为零的点在AC段一般认为梁的最大挠度就发生在跨中例题5.4画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。AF两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。2121例题5.5FBAqCLzEIa用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数ax0BLax0Cxy边界条件连续条件ax21BB21BB例题5.5用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件2lBAqC2lzEIkxy挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数0x0ALxkFcC边界条件连续条件2Lx21BB21BBkqL8例题5.5用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件A2L1zEI2zEIFBC2Lxy挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数0x0A0A边界条件连续条件2Lx21BB21BBLABCqZEIEAL1全梁仅一个挠曲线方程共有两个积分常数0x0ALxBCBL边界条件EAqLL21例题5.5用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xy§3按叠加原理计算梁的挠度和转角叠加法计算位移的条件：1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。32433286BPBPBqBqplPlyEIEIqlqlyEIEI3438BBPBqPlqlyyyEIEI2326BBPBqplqlEIEI由叠加法得：直接查表AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.例题5.7计算C点挠度将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半查表例题5.8试用叠加法求图示梁C截面挠度.EI为已知。2lAqC2lzEI2l2qBD2lAqCzEI2lqLF41B2161qLMB2q2lAC2lB2161qLMB2q2lAC2lB2qzCEILq384254zEILqL161622zEIqL3844例题5.9变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度ωc.A1L2L1zEI2zEIFBCBFC23213zCEIFLAFBC2FLM1313zBFEIFL1212zBFEIFL12122zBMEILFL112zBMEILFLBMBFC223LBMBFC3213CCCC2223zEIFL1313zEIFL12122zEILFL12212zEILFL1122zEILFL1221zEILFL例题5.10多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.F21F21F21F21zBEILF3323AL3BLDCzEIFL293AL3LLLBCDELLBCEzEEILF48231zEIFL63zCEILF323zEIFL63121ECBEZEEIFL253例题5.11图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k.LBAzEILqCC处挠度等于弹簧变形。CFAFBF221qLLFMAC0qLFFAB21根据对称关系02qLFFFCBA平衡关系qLFC叠加法求挠度kCCqC438425zEILqZCyEILF4823ZEIqL244kFCCCCFk324LEIZ例题5.12悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个是正确的?BAC2l2l2leMeMDBAC2l2l2leMeMD(a)BAC2l2l2leMeMD(b)BAC2l2l2leMeMD(C)BAC2l2l2leMeMD(d)AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。§5梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施llmaxmax1,梁的刚度校核将吊车梁简化为如图例6-12b所示的简支梁。计算梁挠度的有关数据为：P=50+5=55kN（1）计算变形由型钢表查得4cm32240)kgf/m4.80(N/cm04.8Iq因P和q而引起的最大挠度均位于梁的中点C，由表6-1查得：cm116.032240102038492004.853845cm38.13224010204892010005548644633EIqlyEIPlyCqCP由叠加法，得梁的最大挠度为：cm5.1116.038.1maxcqcpyyy26N/cm1020GPa200E材料的弹性模量（2）校核刚度cm84.1500920500ly将梁的最大挠度与其比较知：yycm84.1cm5.1max故刚度符合要求。吊车梁的许用挠度为：将主轴简化为如图例6-13b所示的外伸梁，主轴横截面的惯性矩为44444cm188)48(64)(64dDI材料的弹性模量：26N/cm1021GPa210E（1）计算变形由表6-1查出，因P1在C处引起的挠度和在B引起的转角（图c）为：cm106.40)2040(18810213202000)(3462211alEIaPyCPrad1054.1318810213402020035611EIalPBP由表查得，因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角（d）为：cm1006.5201053.2rad1053.2188102116401000164556222222ayEIlPBPCPBPrad1001.111053.21054.13:Bcm105.351006.5106.40:5554442121BPBPBCPCPCyyyC处的总转角为处的总挠度为则主轴的许用挠度和许用转角为：rad10001.0cm1040400001.00001.034lyrad10rad1001.11cm1040cm105.353-5-44Bcyy故主轴满足刚度条件（2）校核刚度例题5.13悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力[σ]=160MPa，梁的许可挠度[ω/L]=1/500。试选择工字钢的型号。aL2BACaL2q1.按强度选择maxMW232qa36.140cm查表：选16号工字钢34141,1130cmWcmIzz2.按刚度选择aL2BACaL2qqBACq321maxBBBZBEIaq8241ZEIqa42CB2ZEIqa84aCB3aEIqaZ63ZEIqa64ZEIqa24414ZEIqaL48413max5001LEqaIZ2425041343050cm查表：选22a号工字钢34309,3400cmWcmIzz2,提高刚度的途径提高刚度主要是指减小梁的弹性位移弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度(EIZ)有关对于梁,其长度对弹性位移影响较大.ZEIFL483ZEIqL3844因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯性矩IZ外,主要是减小梁的长度,当梁的长度无法减小时,则可增加中间支座.§6梁内的弯曲应变能横力弯曲轴向拉压扭转内力分量内力分量轴力FN扭矩T对称弯曲内力分量弯矩M,剪力FS应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线AFNPITZIMybISFZZS*应力状态应力状态应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态maxmaxZWM单轴应力状态max*maxbISFZZS纯剪切应力状态强度条件max强度条件max轴向拉压扭转对称弯曲强度条件maxmax变形公式变形公式变形公式EAFNPGIT轴向线应变单位长度扭转角ZEIM1挠曲线曲率截面位移截面位移截面位移轴向线位移扭转角挠度与转角刚度条件刚度条件轴向拉压扭转对称弯曲刚度条件maxmaxLLmaxmax变形刚度条件变形刚度条件位移刚度条件应变能应变能应变能EALFVN22PGILTV22LZEIdxxMV2)(2本章作业5－4，5－12，5－15，5－23，5－24，