西南石油大学线性代数期末考试2

线性代数试卷姓名___________班级__________学号______________题号一二三四总分得分一、选择题（每题3分，共15分）1.设矩阵jijijijibabBaA2)(,)(4444−===××且，，则行列式=||B(A)；(B)；(C)；(D)||24A−||24A||24A−−||24A−2.设_____________,1||*=−=AAA则，且为正交矩阵A-(D)A(C)A-(B)A(A)TT3.设α是n维非零实列向量,矩阵,n，则___________TEAαα+=3≥(A)至少有n－1个特征值为1；(B)恰有AA1−n个特征值为1；(C)只有1个特征值为1；(D)没有1个特征值为1AA4.设______________,)()(,则阶方阵，且秩相等，既为BrArnBA=B)(A)(B),r(A(D)r(A)2B),r(A(C)r(A)2B)(A(B)0B)r(A(A)rrr+≤==+=－5.已知解向量组4321,,,αααα是齐次线性方程组0=Ax的基础解系，以下解向量组中，也是的基础解系的是0=Ax)(A14433221αααααααα＋，＋，＋，+；)(B14433221αααααααα－，－，－，－；)(C14433221αααααααα－，＋，＋，+；)(D14433221αααααααα－，－，＋，+二、填空题（每题3分，共15分）1．设4阶方阵的伴随矩阵为，且它们的秩为BA和∗∗BA和4)(3)(==BrAr，，则秩__________；=∗∗)(BAr2.D中第二行元素的代数余子式的和∑=__________,其中=412jjAD=1111111111111111−−−3.已知实二次型正定,则实常数322123222132,12224),(xxxaxxxxxxxf++++=a的取值范围为________________；4.2n阶行列式________________=ABBA,其中n阶矩阵=aaaA%##0000000=000000##$#bbbB5.设为n阶实矩阵，且A1−=AAT，|0|A，则行列式=+|EA|三、计算题(每题9分,共54分)1.计算5阶行列式：4000308070009000605020001+++++++++=aaaaaaaaaD2.求矩阵X使=−==−+−−120210006,100010002,011BABXABAAX，其中3.已知为三阶实对称矩阵，A2)(=Ar,,,是对应特征值=0112α=1122αA621==λλ的特征向量试求：（1）的另一个特征值A3λ及其特征向量；（2）矩阵A4.已知实二次型=经过正交),,(321xxxf)0(233232232221+++λλxxxxx变换,化为标准形,求实参数QYX=23222152yyy++λ及正交矩阵Q5.设3R的两个基，α，α；β，β，β=1011α=0102=2213=0011=0112=1113（1）求由基321321,,,,βββααα到的过渡矩阵P；（2）已知向量213ααα+=，求向量α在基321,,βββ下的坐标6.在四元实向量构成的线性空间4R中,求使a4321,,,ββββ为4R的基,并求由基43214321,,,,,,ββββαααα到的过渡矩阵P,其中=00011α=00112α=01113α=11114α−=1111aβ−−=12112aβ−=00113β=00014β四、证明题(每题8分,共16分)1．设为n阶矩阵，且满足BA和AA=2，BB=2，rnEBA=−+)(，证明：)()(BrAr=2.设=fAXXT是元实二次型,有维实列向量,使nn21,XX11AXXT0，X22AXT0,证明:存在维列实向量n00≠X,使=000AXXT