1水箱水流量问题

1例题估计水箱的水流量模型(1991年美国大学生数学建模竞赛的A题.问题中使用的长度单位为E(英尺,1E=30.24cm),容积单位是G(加仑,1G=3.785L)).问题的提出：某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量.许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备,而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%).当水箱水位低于水位L时,水泵开始工作将水灌入水箱,直至水位达到最高水位H为止.但是依然无法测量水泵灌水流量,因此,在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来.水泵一天灌水1~2次,每次约2h.试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间)t流出水箱的流量),(tf并估计一天的总用水量.表1给出了某镇某一天的真实用水数据.水箱是直径为57E,高为40E的正圆柱体.当水位落到27E以下,水泵自动启动把水灌入水箱;当水位回升至35.5E时,水泵停止工作。2表1时间/s水位210E时间/s水位210E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假设(1)影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求．因为附表只给出了某一天(实际是近26小时)水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求．(2)水塔中水的水位不影响水流量的大小．据物理学的Torricelli(托里查里)定律，水塔最大水流量是与水位的高度的平方根成正比的．针对表8－1所给的数据，最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以两个高度的最大水流量之比是15.100.27/50.35,接近于1,所以我们假定水位不影响水流量,类似地,我们假定气候条件、条件变化等也不直接影响水流量.(3)水泵工作起止时间由水塔的水位决定.我们总是假定水位大约27.00英尺时,水泵就开始工作,直到水位升至大约35.50英尺时停止工作,每次充水时间约为两小时.水泵工作性能、效率总是一定的,不因使用次数多少而变化,水泵工作时不需要维修,也不中途停止工作.当然,水泵充水的水流量远大于水塔的水流量,以保证人们对水的需求.(4)表1中水位数据取得的时间准确在1秒以内.(5)水塔的水流量与水泵状态独立,并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小.(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近.这时,在每一个数据点,水流量的两阶导数是连续的,因为水的消耗是基于社区公众一天的活动,如洗澡、做饭、洗衣服等,每一个使用者的要求与整个社会的要求相比是微不足道的,而整个社会的需求是不可能同时增加或减少的,由于水的消耗的自然性,可以设想水流量曲线是一条连续光滑的曲线.3问题分析与模型建立1、为方便起见,记V----表示水的容积;iV----表示时刻it(单位:h)时水的容积;)(tf------表示流出水箱的水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p---------表示水泵的灌水速度(G/h).先将表1中数据作变换,时间单位用小时(h),水位高转换成水的体积，具体数据如表2所示(,2hrV单位:G481.7E1,G1033).表2时间/h水量/310G时间/h水量/310G0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849//677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849//663.367648.477637.593根据假定，当水塔水位降至约27.00英尺时，开始充水，而水位升至约35.50英尺时停止充水，从所给数据自然无法知道水泵开始和停止工作的准确时间，但我们发现第一次充水前的最后一个测量数据是32284秒时水位为26.97英尺，可见水泵在32284位秒后不久开始充水。39332秒时水泵仍在工作，而39435秒时水为35.50英尺，水泵在这两个时刻之间停止了工作，这两个时刻的差距是103秒≈0.028小时，很短的时间，所以我们可以假设水泵开始工作的时间为32284秒，结束工作的时间为39332秒，充水时间约为7048秒≈1.95778小时，符合每次抽水约两小时的假设。现在再来分析第二次充水期间的数据，充水前最后一个测量数据是75021秒时水位26.97英尺，与第一次充水前水位相同，所以可以假设75012秒后水泵即开始工作，但充水后的第一个数据显示了一个与水泵应该停止工作时的不同的水位，说明水泵停止工作已有一段时间，水泵停止工作的准确时间在82649秒和85968秒之间，但这两个时刻相差近一个小时，更靠近哪能一个时刻？我们发现82649秒时水泵已工作约82649-75021=7628秒，与第一次充水时间相比，第二次充水时间也约为2小时，由此即知82649秒后水泵即停止了工作，所以我们可选取82649秒≈22.95806小时为第二次充水停止的时间，并可假定此时刻的水位也为约35.50英尺，这就解决了水泵起止工作4时间问题。即有第一段泵水的始停时间及水量为t始=8.968(h)，v始=514.8×103(G)t末=10.926(h)，v末=677.6×103(G)第二段泵水的始停时间及水量为t始=20.839(h)，v始=514.8×103(G)t末=22.958(h)，v末=677.6×103(G)2、由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度：平均流速=(区间左端点的水量―区间右端点的水量)/区间的长度得下表：表3时间区间的中点值/h平均水流量/310G/h时间区间的中点值/h平均水流量/310G/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.1036///18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898///13.451411.809553、建立模型1)步骤①输入数据{,()}iitft；②作出散点图；③进行曲线拟合；④作出拟合曲线图，输出拟合函数；⑤进行误差估计。2)具体实现(以多项式拟合为例)由散点图可知，可采用多项式拟合曲线(如图)：0510152025308101214161820以8次多项式拟合(其中拟合优度可达96%)，可得：2345678()162827840.24690.91468.9240.1121.1141.01090.0248440.00024548fttttttttt3)误差估计误差估算时，由于已假定水泵的灌水速度为一常数，同时知道在水泵抽水时，水箱中水的体积的平均变化速度tV应近似等于水泵的灌水速度P减去此段时间从水箱中流出的平均速度。即tdttftVP)(/此处f(t)在Δt区间的两端点间进行积分。如果此模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同的灌水周期中，按此模型计算出的水泵灌水速度应近似为常数。下面通过水泵开始和停止工作的两段区间，即t∈[8.968，10.926]及t∈[20.839，22.958]来进行检验。第一段：对应于t始=8.968(h)，t末=10.926(h)，水量分别为v始=514.8×103(G)，v末=677.6×103(G)6故1677600514800162800V(G)110.9268.9861.958t(h)1183150Vt(G/h)第二段：对应于t始=20.839(h)，t末=22.958(h)，水量分别为v始=514.8×103(G)，v末=677.6×103(G)故2677600514800162800V(G)222.95820.8392.119t(h)2276830Vt(G/h)10.9268.9681111()831501471397863ftdtVptt(G/h)22.95822220.8392(())/Vpftdttt7683023724100554(G/h)1220.0268PPP模型求解将0.4606th和24.4606th代入到水的流速拟合函数),(tf我们得到这两时刻的流速分别近似为13688.8G/h和13335.6G/h,相差仅2.58%,从而可以认为)(tf能近似表达一天的用水流量.于是,一天里的用水总量近似地等于函数)(tf在24小时周期内的积分.有0.460624()3330180.4606ftdt(G)71.38224()3337011.382ftdt(G)6.4524()3152856.45ftdt(G)(333701-315285)/3337015%(333701-333018)/3337010.2%可见误差均控制在能接受的范围之内，故该社区一天的总用水量约为：0.460624()3330180.4606ftdt(G)若按常规每1000人的用水量为105000G/d,因此估计出这个地区大约有3200人.同时可得流出水箱的平均流速为：0.4606241()138760.460624ftdt(G/h)水泵灌水的平均速度为：12978631005549920922PP模型评价从建模的设想及实施过程我们可以看出有如下优点及不足之处，优点：①这模型很灵活,能被有一个正水箱的任何小镇使用,输入的数据可为任何规则逼近时间区间的水位,即时间分布可以是随机的.②模型用到的数学知识是简单易懂的，其计算过程完全可由拟合工具箱来完成，是很容易实现的。③只要有一台计算机甚至计算器，输入数据，这模型就容易完成。④模型不仅提供了水流量及一天用水量的较为准确的估计。还可以估计任何时刻的水流量，包括水泵工作时的水流量。⑤该模型可推广到用电分布的情况。缺点：①模型最大的缺点是无法准确估计结果的误差。对不同的输入数据，误差则不同。②用光滑曲线拟合的方法无法模拟真实水流量曲线的微小变化，除非时间区间取得充够小。③数据太少，精确度稍有欠缺。其中具体的计算过程如下：曲线拟合过程(还可用样条插值求解splinetool)t=[0.4605561.382082.396393.410564.424725.43903…6.453197.46758.4481911.493512.493613.415114.4290…15.4