应用数学数学专业调查报告

大学数学中的数形结合思想SeveralofthemiddleschoolMathematicsformcombiningideas姓名：张晓锐学号：51505111012学院：蚌埠学院专业：数学与应用数学指导老师：冯海亮完成时间：2017年2月23日大学数学中的数形结合思想【摘要】数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一。它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。正如我国著名数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述:“数以形而直观，形以数而入微”。我将从以下几个方面来探讨数形结合思想在大学数学中的应用：（1）在二重积分上的应用（2）在三重积分上的应用。通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识．【关键词】大学数学数形结合应用思想方法SeveraloftheuniversityschoolMathematicsformcombiningideas【Abstract】Intheuiversityschoolmathematicshaslotsofmathematicalmethods,includingseveralformcombiningideasmiddleschoolmathematicsisoneofthemostimportantmethods,itwillalgebraandgeometry,andthecombinationofusingseveralshapetransformationbetween,behelpfulforanalysisproblemoftherelationbetweenthequantity,richimagination,changenumeroushardthingssimple,easy,ontheonehand,graphicnatureofmanyoftheabstractwillmathconceptsandvisualandquantitativerelationshipbetweensimplified,giveapersonwithintuitiveenlightenment.Ontheotherhand,willgraphicsproblemintothealgebraproblem,inordertoobtaintheaccurateconclusions.Improvetheanalysisandproblemsolvingabilitysoastoachievesimpleproblemsolvingmethod,thefinalconvenientourproblemsolving.Iwillfromthefollowingseveralaspectstodiscussseveralformcombiningideasuniversityschoolmathematicsintheapplication:(1)theapplicationofdoubleintegral;(2)theapplicationofthreeintegral(,domaininitsapplication.Throughtheanalysis,comparisonandinductionshowseveralformcombiningideasofprobleminthecharacteristicandadvantages,whichinactualteachingwillformtogetherwithseveralideastotheclassroom,trainingstudents'strengthentheconsciousnessofcombiningideasnumberform.【Keywords】schoolmathematicsSeveralformcombinedwithAnapplicationexampleThoughtmethod目录1引言..............................................................42数形结合思想的概念................................................53数形结合思想在大学数学中的应用....................................63.1树形结合在二重积分上的应用3.2数形结合在三重积分上的应用...............................63.3数形结合思想解决最值、值域问题..............................93.4数形结合思想在解析几何中的应用.............................104培养学生数形结合思想的一些教学措施...............................11结束语.............................................................13参考文献...........................................................131引言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想．中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等．中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能．在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程．一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的．而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系．例如函数图象与函数表达式之间的关系．对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩．那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？那么我们平时又该如何培养自己的数形结合思想呢？2数形结合思想的概念数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果．3数形结合思想在中学数学中的应用3.1数形结合思想在重积分上的应用3.1数形结合在二重积分上的应用例1.计算DdyxI)(，其中D是由抛物线2xy，24xy及直线1y围成。解：DDydxdI，又区域D关于y轴对称，如图1所示，),(),(yxfxyxf),(),(yxfyyxfDxd0，dydyDD125222)(1021yyDDdxydydydyxI例2计算dxdyyxD，2),(yxyxD。分析：：积分区域既对称于x轴，又对称于y轴（如图1），被积函数是x或y的一元偏偶函数．据定理2、定理3或推论1有dxdyyxdxdyyxDDD21)(2)(，或者dxdyyxdxdyyxDDD41)(2)(，或者dxdyyxdxdyyxDD1)(4)(。此外，积分区域4321DDDDD,其中1D,3D与2D,4D分别关于原点对称,被积函数是yx,的二元全偶函数．应用定理4得dxdyyxdxdyyxdxdyyxDDD21)(2)(2)(又有定理2，3知dxdyyxdxdyyxDD41)()(，dxdyyxdxdyyxDD21)()(于是，只要计算在1D上的积分即可．3.2数形结合在三重积分上的应用图2积分区域例3计算dxdyzdzdxydydzx222，其中是椭圆柱面12222byax介于0z和3z之间的部分的外侧，如图所示解2,,xzyxP是x的偶函数，关于yoz平面对称，02dydzx类似的2,,yzyxQ是y的偶函数，关于xoz平面对称02dydzy又在xoy平面上的投影为一椭圆周12222byax，投影区域面积为002dydzz0222dxdyzdzdxydydzx例4计算，为锥面被曲面所截下的部分（如图4）.解如图4，曲面关于面对称，而被积函数中与都是的奇函数，根据定理9知：又，，所以原式图2圆柱外侧面图xyABCDO3.3数形结合思想解决最值、值域问题利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题，特别是一些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题．例5.已知函数cos3sin1y，求函数的最小值．解：由cos3sin1的结构形式，我们可以联想到几何当中直线的斜率公式，即cos3sin1可以看成过点(sin,cos)A与点(1,3)B的直线的斜率．A是动点且在圆221xy上，B为定点，作出图象，由图可知：2,1BOAODO，则30DBOOBA，所以圆O的切线BC的倾斜角为150，故min3tan1503y．例6．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式0222xyxy给定，若,Mxy为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则ZOMOA的最大值为（B）（2011年普通高校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科））A．3B．4C．32D．42解：本题是一个线性规划题目，几乎每一年高