高三复习课圆锥曲线方程

1高三复习课圆锥曲线方程高考试题中，解析几何试题的分值一般占20％左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14％左右，选择、填空、解答三种题型均有．选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热．解答题的题型设计主要有三类：（1）圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；（2）涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；（3）求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担.因此，在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.二、基础知识梳理（一）概念及性质1．椭圆及其标准方程第一定义、第二定义；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；椭圆的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义，准线方程，焦半径）；椭圆的参数方程x=acosθ,y=bsinθ,当点P在椭圆上时，可用参数方程设点的坐标，把问题转化为三角函数问题.2．双曲线及其标准方程：第一定义、第二定义（注意与椭圆类比）；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；双曲线的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义、准线方程、焦半径、渐近线）.3．抛物线及其标准方程：定义以及定义在解题中的灵活应用（抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离）；2标准方程（注意焦点在哪个轴上、开口方向、p的几何意义）四种形式；抛物线的简单几何性质（焦点坐标、准线方程、与焦点有关的结论）.（二）常见结论、题型归类及应对思路：1．中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1.2．共渐近线xaby的双曲线标准方程为(2222byax为参数，≠0）.3．焦半径、焦点弦问题（1）椭圆焦半径公式：在椭圆2222byax＝１中，F１、F２分别左右焦点，P(x0，y0)是椭圆是一点，则：①|PF1|=a+ex0②|PF2|=a-ex0过椭圆12222byax（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则)(221xxeaAB，过右焦点的弦)(221xxeaAB.（2）双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线12222byax（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c，0)，F2(c，0),则：①当P点在右支上时，0201,exaPFexaPF；②当P点在左支上时，0201,exaPFexaPF；（e为离心率）（3）抛物线焦半径公式：设P（x0，y0）为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则20pxPF；y2=2px（p0）上任意一点，F为焦点，则20pxPF；抛物线y2=2px（p0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B(x2，y2)，则有如下结论：①AB＝x1+x2+p；②y1y2=－p2，x1x2=42p.（4）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为ab22，焦准距为p=cb2，抛物线的通径为2p，焦准距为p；双曲线12222byax（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b.4．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长]4))[(1(1212212122xxxxkxxkAB]4)[()11(11212212122yyyykyyk,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.5．中点弦问题处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)3为椭圆12222byax（ab0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=22ab；对于双曲线12222byax（a0，b0），类似可得：KABKOM=22ab；对于y2=2px（p≠0）抛物线有KAB＝212yyp；另外，也可以用韦达定理来处理.6．求与圆锥曲线有关的轨迹问题的常用方法（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（3）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（4）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)的变化而变化，并且Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.三、重点、难点分析重点圆锥曲线的概念、性质难点圆锥曲线的概念、性质等的综合应用四、课时安排第一课时圆锥曲线的概念、性质类问题第二课时直线和圆锥曲线关系类问题第三课时与圆锥曲线有关的轨迹类问题说明：问题的类别、知识是相互联系的，因此课时分类也不是绝对的.五、分课时讲解例题第一课时圆锥曲线概念、性质类问题例1.（02北京）已知椭圆2222135xymn和双曲线2222123xymn有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）15()2Axy15()2Byx3()4Cxy3()4Dyx分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程求法.由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点22(35,0)mn，双曲线焦点422(23,0)mn，∴22223523mnmn，∴228mn，又∵双曲线渐近线为62nyxm.∴代入228mn，22mn，得34yx，∴选D.例2．（02全国文11）设(0,)4，则二次曲线x2cotθ-y2tanθ=1的离心率的取值范围为（）1()(0,)2A12()(,)22B2()(,2)2C()(2,)D分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较大.解一：因为(0,)4，所以cotθ0，tanθ0，方程所表示的二次曲线是双曲线，离心率必然大于1.从而排除A、B、C，得D.解二：依题设知二次曲线是双曲线，半实轴长a和半虚轴长b分别为1tancota，1cottanb.所以半焦距22tancotcab，离心率为21cotcea，因为(0,)4，所以e的取值范围为(2,)，选D.第二课时直线和圆锥曲线关系类问题直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.例3．2004年天津高考·理工第22题，文史第22题[只做第(1)和(2)问]，本小题满分14分椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（0c）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OPOQ，求直线PQ的方程；（3理工类考生做）设APAQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于5另一点M，证明FMFQ.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(I)解：由题意，可设椭圆的方程为22221(2).xyaab由已知得2222,2().acaccc解得6,2.ac所以椭圆的方程为22162xy，离心率6.3e(II)解：由(I)可得(3,0).A设直线PQ的方程为(3).ykx由方程组22162(3)xyykx得2222(31)182760.kxkxk依题意212(23)0,k得66.33k设1122(,),(,),PxyQxy则212218,31kxxk①2122276..31kxxk②由直线PQ的方程得1122(3),(3).ykxykx于是2212121212(3)(3)[3()9].yykxxkxxxx③61212.0,0.OPOQxxyy④由①②③④得251,k从而566(,).533k所以直线PQ的方程为530xy或530.xy(III)证明：1122(3,),(3,).APxyAQxy由已知得方程组1212221122223(3),,1621.62xxyyxyxy注意1,解得251.2x因11(2,0),(,),FMxy故112112(2,)((3)1,)11(,)(,).22FMxyxyyy而2221(2,)(,),2FQxyy所以.FMFQ例4．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆2210200xyx相切．过点4,0P作斜率为14的直线l，使得l和G交于,AB两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足2PAPBPC．（Ⅰ）求双曲线G的渐近线的方程；（Ⅱ）求双曲线G的方程；（Ⅲ）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．讲解：（Ⅰ）设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则由渐近线与圆2210200xyx相7切可得：2551kk．所以，12k．双曲线G的渐近线的方程为：12yx．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G的方程为：224xym．把直线l的方程144yx代入双曲线方程，整理得2381640xxm．则8164,33ABABmxxxx（＊）∵2PAPBPC，,,,PABC共线且P在线段AB上，∴2PABPPCxxxxxx，即：4416BAxx，整理得：4320ABABxxxx将（＊）代入上式可解得：28m．所以，双曲线的方程为221287xy．（Ⅲ）由题可设椭圆S的方程为：22212728xyaa．下面我们来求出S中垂直于l的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为1122,,,MxyNxy，MN的中点为00,Pxy，则2211222222128128xyaxya．两式作差得：121212122028xxxxyyyya由于12124yyxx，1201202,2xxxy