天体运动总结

1/14天体运动总结一、处理天体运动的基本思路1．利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第二定律求解，即GMmr2＝ma，其中a＝v2r＝ω2r＝(2πT)2r，该组公式可称为“天上”公式．2．利用天体表面的物体的重力约等于万有引力来求解，即GMmR2＝mg，gR2＝GM，该公式通常被称为黄金代换式．该式可称为“人间”公式．合起来称为“天上人间”公式．二、对开普勒三定律的理解开普勒行星运动定律1．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．此比值的大小只与有关，在不同的星系中，此比值是不同的.(R3T2＝k)1．开普勒第一定律说明了不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，但有一个共同的焦点．2．行星靠近太阳的过程中都是向心运动，速度增加，在近日点速度最大；行星远离太阳的时候都是离心运动，速度减小，在远日点速度最小．3．开普勒第三定律的表达式为a3T2＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个常量，与行星无关但与中心天体的质量有关．三、开普勒三定律的应用1．开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕地球的运转．2.表达式a3T2＝k中的常数k只与中心天体的质量有关．如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关．四、太阳与行星间的引力1．模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运一、太阳与行星间的引力2．万有引力的三个特性(1)普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力．(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足牛顿第三定律．(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力很小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用．2/14五．万有引力和重力的关系1.万有引力和重力的关系如图6－2、3－3所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝GMmr2.引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg2.近似关系：如果忽略地球的自转，则万有引力和重力的关系为：mg＝GMmR2，g为地球表面的重力加速度．关系式2GMm/Rmg即2grGM3．随高度的变化：在高空中的物体所受到的万有引力可认为等于它在高空中所受的重力mg′＝GMm（R＋h）2，在地球表面时mg＝GMmR2，所以在距地面h处的重力加速度g′＝R2（R＋h）2g.六．天体质量和密度的计算（一）.“天体自身求解”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMmR2，解得天体质量为M＝gR2G，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”．(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况：GMmr2＝m2πT2r⇒M＝4π2r3GT2，已知绕行天体的r和T可以求M.观测行星的运动，计算太阳的质量；观测卫星的运动，计算行星的质量。（二）.若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝M43πR3，将M＝4π2r3GT2代入上式可得ρ＝3πr3GT2R3.特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3πGT2.七、四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．(1)由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，r越大，v越小．3/14(2)由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，ω越小．(3)由GMmr2＝m2πT2r得T＝2πr3GM，r越大，T越大．(4)由GMmr2＝ma向得a向＝GMr2，r越大，a向越小．以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．八．、人造卫星、宇宙航行的相关问题1．发射速度与环绕速度人造卫星的发射速度随着发射高度的增加而增大，最小的发射速度为v＝GMR＝gR＝7.9km/s，即第一宇宙速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度．由v＝GMr可知，人造地球卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，所以第一宇宙速度v＝7.9km/s是最小的发射速度也是最大的环绕速度．2．稳定运行和变轨运行稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小．变轨运行：当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F万和mv2r不再相等，速度不能再根据v＝GMr来确定大小．如：(1)当v减小时，F万mv2r时，卫星做近心运动，卫星轨道半径r减小，轨迹变为椭圆；(2)当v增大时，F万mv2r时，卫星做离心运动，卫星轨道半径r增大，轨道变为椭圆．3．两种特殊卫星(1)近地卫星：卫星轨道半径约为地球半径，受到的万有引力近似为重力，故有GMmR2＝mg＝mv2R，v＝GMR＝gR＝7.9km/s.(2)地球同步卫星：相对于地面静止的人造卫星，它的周期T＝24h．所以它只能位于赤道正上方某一确定高度h，h＝(GMT24π2)13－R≈3.6×104km，故世界上所有同步卫星的轨道均相同，但它们的质量可以不同．四个特点：A.轨道取向一定：运行轨道平面与地球赤道平面共面B.运行方向一定：与地球自转方向相同C.运行周期一定：与地球自转周期一样D.运行速率、角速度一定4/144.人造卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与半径的关系GMmr2＝mamv2rmω2rm4π2T2r⇒a＝GMr2（r越大，a越小）v＝GMr（r越大，v越小）ω＝GMr3（r越大，ω越小）T＝4π2r3GM（r越大，T越大）⇒越高越慢5．人造卫星的超重与失重(1)人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动，这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．(2)人造卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，所以处于完全失重状态，在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生，因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行．6.同步卫星发射过程中的“4个速率”的大小关系如图2所示,设卫星在近地圆轨道1上a点的速率为v1,在椭圆轨道2经过a点的速率为v2,在椭圆轨道2经过b点的速率为v3,在圆轨道3经过b点的速率为v4,比较这4个速率的大小关系.(1)圆轨道上卫星速率的比较在圆轨道上卫星以地心为圆心做匀速圆周运动,设地球质量为M,卫星质量为m,由卫星所受的万有引力提供向心力,即GMm/r2=mv2/r.得v=(GM/r)1/2说明卫星离地面越高,速率越小,故41vv.(2)椭圆轨道上近地点和远地点卫星速率的比较当卫星在椭圆轨道2上运行时,由机械能守恒定律可知,卫星在近地点的速率大于卫星在远地点的速度,即32vv.(3)火箭点火前、后卫星速率的比较在近地点(a点),卫星的火箭开始点火加速,点火加速后卫星的速率大于点火前的速率.故在椭圆轨道2经过a点的速率为2v大于卫星在近地圆轨道1上a点的速率为1v,即12vv;同理,卫星在圆轨道3经过b点的速率为4v大于在椭圆轨道2上经过b点的速率为3v,即34vv;所以4个速率的关系为3412vvvv5/14九、两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的比较卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径，所以r＝R＋h.当卫星贴近天体表面运动时，h→0，可近似认为轨道半径等于天体半径．十、双星系统问题双星模型：两星相对位置保持不变，绕其连线上某点做匀速圆周运动．(1)两星之间的万有引力提供各自所需的向心力．(2)两星绕某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同，角速度、周期相同．(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离．r1＋r2＝l.十一、加速度问题1．求星球表面的重力加速度在星球表面处万有引力等于或近似等于重力，则：GMmR2＝mg，所以g＝GMR2(R为星球半径，M为星球质量)．由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为：g1g2＝R22R12·M1M2.2．求某高度处的重力加速度若设离星球表面高h处的重力加速度为gh，则：GMmR＋h2＝mgh，所以gh＝GMR＋h2，可见随高度的增加重力加速度逐渐减小．由此推得星球表面和某高度处的重力加速度关系为：ghg＝R2R＋h2.1．卫星绕地球运动的向心加速度和物体随地球自转的向心加速度比较种类项目卫星的向心加速度物体随地球自转的向心加速度产生万有引力万有引力的一个分力(另一分力为重力)6/14方向指向地心垂直指向地轴大小a＝g′＝GMr2(地面附近a近似为g)a＝ω地球2·r，其中r为地面上某点到地轴的距离变化随物体到地心距离r的增大而减小从赤道到两极逐渐减小十二、三种宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)对于近地人造卫星，轨道半径近似等于地球半径R，卫星在轨道处所受的万有引力F引近似等于卫星在地面上所受的重力mg，这样有重力mg提供向心力，即mg＝mv2/R，得v＝gR，把g＝9.8m/s2，R＝6400km代入，得v＝7.9km/s.要注意v＝gR仅适用于近地卫星．可见7.9km/s的速度是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动具有的速度，我们称为第一宇宙速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．而对于环绕地球运动的人造地球卫星，由牛顿第二定律得GMmr2＝mv2r，故v＝GMr，可见r越大，v越小，所以当r最小等于地球半径R时，v最大＝7.9km/s，故第一宇宙速度也是最大环绕速度．2．第二宇宙速度(脱离速度)v＝11.2km/s是使物体挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造卫星或飞到其他行星上去的最小发射速度．当11.2km/s≤v16.7km/s时，卫星脱离地球束缚，成为太阳系的一颗“小行星”．3．第三宇宙速度(逃逸速度)v＝16.7km/s是使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度．当v≥16.7km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚，运动到太阳系以外的宇宙空间中去．【练习1】１．(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图2所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(BD)A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度D．卫星在轨道2上经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度２．(多选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫7/14星，下列表述正确的是(BD)A．卫星距地面的高度为3GMT24π2B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为GMmR2D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度３．（双星问题）两颗靠得很近的恒星称为双星，这两颗恒星必须各以一定的速率绕某一中心转动，才不至于因万有引力作用而吸引在一起，已知双星的质量分别为m1和m2，相距为L，求：(1)双星转动中心的位置；(2)双星的转动周期．解析：(1)设双星的转动中心与其中一颗恒星(质量为m1)的距离为x，它们做圆周运动的向心力为双星之间的万有引力，所以它们的向心力大小相等，转动的周期相同．根据牛顿第二定律，对双星分别列方程，有：Gm1m2L2＝m14π2T2x，①Gm1m2L2＝m24π2T2(L－x)，②联立①②，得：x＝m2m1＋m2L