3矩阵的特征值和特征向量

返回上页下页目录2020年3月29日星期日1第三章矩阵的特征值与特征向量返回上页下页目录2020年3月29日星期日2第三章矩阵的特征值与特征向量§1方阵的特征值与特征向量§2矩阵的对角化返回上页下页目录2020年3月29日星期日3第1节方阵的特征值与特征向量返回上页下页目录2020年3月29日星期日4Axx定义3.1Ann设是阶方阵,如果存在维和非零向量x数满足A称特征值矩阵的对应于特征值是矩阵A的(eigenvalue)，称x是(eigenvect的特征向量or)。3.1.1特征值与特征向量的基本概念返回上页下页目录2020年3月29日星期日5例1211402324A1121x2213x2A1验证x，x是否是的特征向量。解1211140223241Ax363113231x2211240213243Ax624是不是返回上页下页目录2020年3月29日星期日6命题1nn非零维向量x是阶方阵的的充分必要条件是：向量Ax与特征向A量x共线。命题20kxAkA（）如果x是矩阵的对应特征值的特征向量，则也是的对应特征值的特征向量。命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。120xAxAxx，x，120xx1200x（）x120返回上页下页目录2020年3月29日星期日7Axx()0AIx它有非零解的充分必要条件是0AI即1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa怎样求矩阵A的特征值与特征向量？.x实数非要零向量求与返回上页下页目录2020年3月29日星期日8矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2A的特征方程A的特征多项式IAA的特征矩阵IA0IA特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。返回上页下页目录2020年3月29日星期日9求矩阵的特征值与特征向量的步骤1.求矩阵A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值0AI3.对每个特征值i解方程组()0iAIx求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量便得属于i的全部特征向量。()0IxA返回上页下页目录2020年3月29日星期日10例2：求矩阵的特征值和特征向量211020413A解A的特征多项式为211020413AI21(2)4322(2)(64)(2)(2)A的特征值为2(1)(2)1231,2返回上页下页目录2020年3月29日星期日11110AIx当时，解方程（）111030414AI314rr23r11101003012rr323rr101010000得基础解系1101T（，，）1110kk对应于的全部特征向量为（）23220AIx当时，解方程（）4112000411AI31rr41100000020113104得基础解系232对应于的全部特征向量为2233230kkkk（，不同时为）返回上页下页目录2020年3月29日星期日12练习:求下列矩阵的特征值和特征向量3113A解A的特征多项式为311322(3)168(2)(4)A的特征值为122,412当时，1231012302xx121200xxxx12xx即111对应的特征向量可取为返回上页下页目录2020年3月29日星期日1324当时1231014304xx12110110xx12xx对应的特征向量可取为21110kk1（）是对应于的全部特征向量220kk（）是对应于的全部特征向量返回上页下页目录2020年3月29日星期日143.1.2特征值与特征向量的性质定理1TnAA阶方阵与它的转置矩阵有相同的特征值。定理21212121212122212012,,,;,,,;;,,,.immiiiirrrmmmrnAIAxim11设方阵有互不相同的特征值，，，，（）的基础解系为，，，（，，，）,则线性无关推论若n阶方阵有互不相同的特征值12,,,m则其对应的特征向量12,,,mxxx线性无关。返回上页下页目录2020年3月29日星期日151212121122(),,,(),(1)(2),ijnnnnnnnnAaAaaaTrA设阶方阵的n个特征值为重特征值按重数算则有定理3121211212(1),,,,||()()()()(1)nnnnnnAIAn由于为的特征值故=证12120,||(1),||nnnAA令得即返回上页下页目录2020年3月29日星期日16(2)由于1112121222121122||,nnnnnnnnaaaaaaIAaaaaaa的行列式的展开中主对角线的乘积()()()111221121122()(1)||nnnnnnnnaaaAaaan|I-A|=比较前的系数可得=trA1nn是其中的一项;再由行列式的定义可知:展开式中的其余项至多包含n-2个主对角线上的元素,因此|I-A|中含与的项只能在主对角线元素乘积项中出现,故有返回上页下页目录2020年3月29日星期日17定理4设A是n阶方阵，01(),mmAaIaAaA01()mmaaa是()A的特征值.若为A的特征值，则82详细的证明见页返回上页下页目录2020年3月29日星期日18设A是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求（1）A的主对角线元素之和（2）A2(3)AAI解112233123aaa1236123A12362AAE的特征值依次为1113,22217,23311323713273AAI返回上页下页目录2020年3月29日星期日19试证n阶矩阵A是奇异矩阵的充要条件是A中至少有一个特征值为0。证明因为1212(,,,nnA为A的特征值）所以0A的充分必要条件是至少有一个特征值为零。返回上页下页目录2020年3月29日星期日20第2节矩阵的对角化返回上页下页目录2020年3月29日星期日21定义3.3设A和B为n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P，使得1PAPB则称A相似于B，或说A和B相似(similar),记做A∽B.性质（1）反身性A相似于A（2）对称性A相似于B，可推出B相似于A（3）传递性A相似于B，B相似于C，可推出A相似于C。3.2.1相似矩阵及其性质返回上页下页目录2020年3月29日星期日22方阵的迹定义3.4ij11221A(a),nnnnniiiaaaaA设方阵称为的迹，记作1()niiiTrAa方阵的迹是它的主对角线上的元素和061530942A例5Tr(A)=2+(-3)+0=-1性质：(1)Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2)Tr(AB)=Tr(BA)(性质3.1)返回上页下页目录2020年3月29日星期日23性质：(1)Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2)Tr(AB)=Tr(BA)(性质3.1)ijijnssnAaBb证明：(1)显然；（2）设，，11(),(),nsijjiijsnjiijjiTrABabTrBAba()()TrABTrBA返回上页下页目录2020年3月29日星期日24相似矩阵的性质若A和B相似，则1.A和B有相等的秩。2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)1PAPB1PAPB1PAPB1BPPA1,BPAPP可逆。1PPAA证明（1）1PAPB1()()RPAPRB()()RARB返回上页下页目录2020年3月29日星期日253.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。TH51PAPB1()()trBtrPAP1()()trAPPtrA1PAPBBI1PAPI1()PAIP1PAIPAI推论如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。返回上页下页目录2020年3月29日星期日26定理3.6n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。12n充分性111,Axx,,,,,nnAnxx11设的个特征向量线性无关，它们对应的特征值分别是则nnnAxx,111()()nnnAxxxx1()nPxx记APP1PAP3.2.2矩阵的对角化返回上页下页目录2020年3月29日星期日27必要性设A相似于对角矩阵1ndDd即存在可逆矩阵B，使得1BABD1(,,)nBxx1BABDABBD111(,,)(,,)nnnAxxdxdx111,,nnnAxdxAxdx由B可逆便知：1,,nxx都是非零向量，因而都是A的特征向量，且1,,nxx线性无关。返回上页下页目录2020年3月29日星期日28推论如果n阶矩阵A的特征值1,,n互不相同则A相似于对角矩阵1n定理3.7n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值,对应着个线性无关的特征向量.inini返回上页下页目录2020年3月29日星期日29A121nPAP相似变换12()nPxxx0AIi解出特征值0iAIxi求出基础解系若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵返回上页下页目录2020年3月29日星期日30例矩阵A=能否相似于对角阵？201034011解=(λ-2)(λ-1)2110430102IA所以A的特征值为λ1=2λ2=λ3=1对于λ2=λ3=1，解方程组(I–A)χ=0对系数矩阵作初等变换101024012000210101返回上页下页目录2020年3月29日星期日31解方程组得通解0203231xxxx3332312xxxxxx为任意常数）kkxxx(121321因为λ2=λ3=1是二重根，而对应于λ2=λ3=1无两个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。返回上页下页目录2020年3月29日星期日32460350361A例用相似变换化下列矩阵为对角形解:A的特征方程为460350361AI2(2)(1)特征值为1232,1对于12,可求得特征向量1