初中数学思想方法篇——函数思想

1新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之函数思想一、注解：函数是初中以及今后学习的重要内容，利用函数可以将两个或两个以上的量联系起来进行分析，得到量与量之间的变化关系。函数思想是一种重要的数学思想方法，指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。因此，函数思想的实质是用联系和变化的观点提出研究对象，抽象其数量特征，建立函数关系。二、实例运用：1.利用函数与方程的关系，将有关函数及其图象的问题转化为方程（组）来解决【例1】点A是直线y=-2x+2上的一点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标是。【例2】已知一次函数y=x+m与反比例函数1ymx（x≠-1）在第一象限的交点为P(x0，3)。（1）求x0的值。（2）求一次函数和反比例函数的解析式。2.函数思想在解决实际问题中的运用【例3】某学校有一段25米长的旧围栏，（如图用AB表示），现打算利用该围栏（或它的一部分）为一边，围成一块面积为100㎡的长方形草坪，如图，其中CD＜CF。已知整修旧围栏的费用为每米1.75元，建造新围栏的价格为每米4.5元，设利用旧围栏CF的长度为x米，修建草坪围栏的总费用为y元。（1）求出y与x之间的函数关系式。（2）若计划修建费用只有150元，则应利用旧围栏多少米？（3）若计划修建费用只有120元，能否完成该草坪的围栏修建任务？请说明理由。【例4】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品每天可生产276个，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元。（1）若每件利润为16元时，此产品应该在第几档次？（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天的生产量将减少4件，若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为整数且1≤x≤10），求出y与x的函数关系式。（3）若生产某档次的产品一天的总利润为1080元，则该工厂生产的是第几档次的产品？3.在经济决策中的运用【例5】某移动通讯公司开设有两种移动资费业务。“全球通”业务：先交纳50元月租费，然后每通话1跳次，再付费0.4元；“神州行”业务：无月租，每通话1跳次，付话费0.6元。（本题中均指市话通话）。若设一个月通话x跳次，两种付费方式的费用分别为y1元和y2元（跳次：1分钟为一个跳次，不足一分钟按1跳次算，如3.2分钟为4跳次）（1）写出y1和y2与x得函数关系式；（2）一个月通话多少跳次时，两种费用相同？（3）某人估计一个月内通话300跳次，应该选择哪种业务方式比较合算？【例6】南泉汽车租赁公司有30辆出租车，其中甲型20辆，乙型10辆。现将这30辆汽车租赁给A、B两地旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天的价格如下：（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆车一天工获得租金y元，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（2）若要使租赁公司的这30辆汽车一天获得的总租金不少于2680元，请你说明有多少种分派方案？并将各种分派方案设计出来。3（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提供合理的分派方案。4.在几何中的运用【例7】如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形DEFG的顶点D在AB上，E，F在BC上，G在AC上。（1）设BE=x，DEFGSy四边形，求y与x的函数关系式和自变量x的取值范围。（2）连接EG，当x取何值时，ED∥AB？并求出此时四边形DEFG的面积。三、随堂练习1、某零件制造车间有工人20名。已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个4甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余制造乙种零件。（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系；（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？2、某市近年来经济发展迅速，根据统计，该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币。经论证，上述数据适合一个二次函数关系，请根据这个函数关系，预测2010年该市国内生产总值将达到多少？3、教室放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中不发生泼洒，每个同学所接的水量都相同，两个放水管同时打开，它们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)的函数关系如图。（1）求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)的函数关系。（2）如果打开第一个水管后，2分钟时间恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束需要几分钟？（3）按照（2）的方法，求出课间十分钟内班级中最多有多少个同学可以及时接完水？5四、课后练习选择题：1、甲，乙两摩托车分别从A，B两地出发，相向而行，如图l1，l2分别表示两摩托车与A地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，则以下说法：①AB两地相距24千米；②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时；③甲车的速度比乙车慢8千米/小时；④两车出发后，经3/11小时，两车相遇。其中正确的结论有()A1个B2个C3个D4个2、小明在今年的运动会跳远比赛中跳出满意的一跳，函数h=3.5t-4.9t2(t的单位s，h的单位m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间为：A0.71sB0.70sC0.63sD0.36s3、已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x的函数关系的大致图象为（）填空题：1、我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此公司的出租车最远能达到公里处。2、如图，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系。则该弹簧在不挂物体时的长度为cm。3、在距离地面2m的高处把一物体以初速度v0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：2012svtgt,(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高距离地面m。解答题：61、有甲乙两家通讯公司，甲公司每月通话（不区分通话地点）的收费标准如图所示；乙公司每月通话的收费如下表所示。（1）观察图形，写出甲公司用户，月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额；并求出甲公司的用户通话400分钟后，每分钟的通话费用。（2）王先生因工作需要，从4月份开始经常到外市出差，估计每月各种通话费的比例是：本地接听时间：本地拨打时间：外地通话时间=2：1：1。你认为王先生的每月通话时间不少于多少分钟时，入乙通讯公司更合算？请说明理由。2、在十一黄金周期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一），爸爸对小明说：“我来考考你，你知道里程与票价之间的关系吗？”小明说：“知道，里程与票价是一次函数关系，具体是………”在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度。”爸爸说：“真聪明。”你知道小明是怎么求出来的吗？你也来试试。（1）票价y(元)与里程x（千米）之间的函数关系式；（2）游船在静水中的速度和水流速度。73、一天上午6点钟，王老师从学校出发去市里开会，8点准时到达会场，中午12点回到学校，他这一段时间内的行程s(km)(即离开学校的距离)与时间t（h）之间的关系如图，根据图表提供的相关信息解答下列问题。（1）开会的地点离学校多远？（2）求出王老师在返校途中路程s（km）与时间t(h)之间的函数关系。（3）请用一段简短的话，对王老师这个上午从6点到12点的活动情况进行描述。4、为宣传秀山丽水，在“丽水文化摄影节”前夕，丽水电视台摄制组往返于丽水（A）、青田（B）两码头，在A，B之间设立拍摄中心C，在往返过程中，船在C，B两处均不停留，离开码头A的距离S（千米）与航行时间t（小时）之间的关系如图，根据提供的信息解决问题：（1）船从码头A到B航行的时间为小时，航行速度为千米/小时。船从码头B到A航行的时间为小时，航行速度为8千米/小时。（2）过点C作CH∥t轴，分别交AD，DF于G，H，设AC=x，GH=y，求y与x之间的函数关系式。（3）若拍摄中心C设在离A码头25千米处，摄制组在拍摄中心分成两组，一组乘皮划艇漂流而下，另一组乘船到达码B后立即返回①求船只往返C，B两处所用的时间；②两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心有多远。