初中数学思想方法篇——分类讨论

1新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解：分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的数学思想。分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】若1a，4b且ab＜0，则a+b=【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m。2.在代数式中的运用【例3】若实数x满足22110xxxx，求1xx的值。【例4】分式22943xxx的值为0，则x=（）A3B3或-3C-3D03.在方程（组）中的运用【例5】已知关于x的方程ax2+2x-1=0有实根，求a的取值范围。【例6】黄金周期间，某商场购物有如下优惠方案：（1）一次性购物在100元内（不含100元）时，不享2受优惠；（2）100元到300元（不含300元）时，一律享受9折优惠；（3）300元以上时，享受8折优惠。张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和252元。如果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元，不高于4000元的，缴纳超过800那部分的14%；（3）稿费高于4000元的，应缴纳全部稿费的12%。已知某作家获得一笔稿费，并交纳个人所得税a元（a＞0），求这笔稿费有多少元。5.在函数中的运用【例8】如果一次函数y=ax+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应函数值y的范围是-11≤y≤9，求这个一次函数的解析式。【例9】一次函数y=kx-k与反比例函数kyx在同一直角坐标系内的大致图象是（）6.在三角形中的运用【例10】等腰三角形的一个角等于30°，腰长为20cm，求等腰三角形腰上的高的长。3【例10】已知直角三角形两边x、y的长满足224560xyy，则第三边长为．7.在四边形中的运用【例12】劳技课上，老师要求学生在一张长17cm，宽16cm的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下所得等腰三角形的面积。【例13】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？三、随堂练习1、已知：x=3，y=2，且x·y0，则x＋y的值等于。42、设为实数，下列四个命题中有等正确（添代号）：①若a＋b=0，则a=b②若a＋b=0，则a=b=0③若a2＋b2=0，则a=b=0④若ba=0，则a=b=03、当式子5452xxx的值为零时，x的值是。4、如图,四边形ABCD是正方形,E是CD中点,F是BC上一点,则能使△ABF∽△ECF的条件是。5、公民的月收入超过1600元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在500元以内(含500元)时税率为5%，那么公民每月所纳税款y(元)与月收入x(元)之间的函数关系式是，自变量取值范围是．某人月收人为1960元，则该人每月应纳税元．6、若不等式组121mxmx无解，则m的取值范围是。7、已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B´C´中一定有一定有条边等于（）A．7㎝B．2㎝或7㎝C．5㎝D．2㎝或7㎝8、A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（）A．2或2．5B．2或10C．10或12．5D．2或12．59、在直角坐标系xoy中，一次函数323yx的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．四、课后练习选择题：1、已知，则a的值为：（）A2B-2C±2D±1/2ABFDEC52、代数式abab（ab≠0）的所有可能的结果有（）A1个B2个C3个D4个3、若化简21816xxx的结果为2x-5，则x得取值范围是（）Ax为任意实数B1≤x≤4Cx≥1Dx≤44、已知x-y=4，且7xy，那么x+y的值为（）A32B112C±7D±115、方程x2=2x的解为（）Ax=2Bx1=0，x2=2Cx1=2，x2=0Dx=06、现有甲乙两种运输车将46吨抗旱物质运送往灾区，甲种车载重5吨，乙种车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种车至少需要安排（）A4辆B5辆C6辆D7辆7、如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路线为（）A2B12aC3aD5a8、已知A（2，0），B(12，0)，C（0，1），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9、已知△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=cm，则∠A的度数为（）A30°B60°C120°D60°或120°填空题：1、在数轴上，离原点距离等于3的数是。2、当m=时，分式21332mmmm的值为0。3、一个等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，则它的周长为。4、已知直角三角形的两边x，y的长满足224560xyy，则第三边的长为。5、给出一个正方形，请你动手画一画，将它平分成n个小正方形，通过思考，你认为这样的自然数n可以取的所有值应该是。解答题：1、某自来水公司鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费的办法，若居民应缴水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示。(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系。（2）若一用户某月用水21吨，则应缴水费多少元？62、某篮球队在平时训练中，球员甲的3分球命中率为70%，球员乙的3分球命中率为50%，在一场比赛中，甲投3分球4次，命中1次；乙投3分球4次，全部命中。全场比赛即将结束，甲乙两人所在的球队还落后对手2分，但只有最后一次进攻机会了，若你是这个球队的教练，问：（1）最后一个3分球由甲、乙中谁来投，获胜的机会更大？（2）请简要说明你的理由。3、如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A,B,C,D到直线l的距离分别为a,b,c,d。（1）观察图形，猜想得出a,b,c,d满足怎样的关系式？并证明你的结论。（2）现将直线l向上平移，你得到的结论还成立吗？说明理由。4、如图，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，点C和点M重合，BC和MN在同一直线上，让Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在的直线向右以每秒1cm的速度移动，直到点C与点N重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与Rt△PMN重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系。75、如图，在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A（18，0）、B（18，6）、C（8，6），四边形OABC是梯形．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC的解析式．（2）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．（3）设从出发起运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．7、如图2-4-48，在△ABC中，∠B=900，点P从点A开始沿AB边向点B以1㎝/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8㎝2?（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到达点B后又继续沿BC边向点C移动，点Q到达点C后又继续沿CA边向点A移动，在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q，使△PBQ的面积等于9㎝2？若存在，试确定P、Q的位置；若不存在，请说明理由．图2-4-37OCBAxyQP图2-4-48QPCBA8cm6cm84．如图2-4-49，在梯形ABCD中，AB=BC=10㎝，CD=6㎝，∠C=∠D=900．（1）如图2-4-50，动点P、Q同时以每秒1㎝的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止．设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为1y（㎝2），求1y（㎝2）关于t（秒）的函数关系式．（2）如图2-4-51，动点P以每秒1㎝的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为2y（㎝2）．求2y（㎝2）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．DCBA图2-4-4910cm8cm6cm