3.4-基本不等式练习题附标准答案解析

个人收集整理仅供参考学习1/51．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确地是()A．有最大值－2B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy地最大值是()A．400B．100C．40D．20答案：A3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：244．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)地最小值；(2)当x＜0时，求f(x)地最大值．解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.∴12x＋4x≥212x·4x＝83.b5E2RGbCAP当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，p1EanqFDPw∴当x＞0时，f(x)地最小值为83.(2)∵x＜0，∴－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x·－4x＝83，DXDiTa9E3d当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．∴当x＜0时，f(x)地最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值地是()A．x＋12xB．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－xD．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1地最小值是()A．32－3B．－3C．62D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.RTCrpUDGiT3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2地最小值是()A．200B．100C．50D．20解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；5PCzVD7HxA个人收集整理仅供参考学习2/5②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx·lgy；③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.jLBHrnAILg其中正确地推导过程为()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立地条件考虑．①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式地条件，故①地推导过程正确；xHAQX74J0X②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②地推导过程是错误地；LDAYtRyKfE③∵a∈R，不符合基本不等式地条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误地；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式地条件，故④正确．Zzz6ZB2Ltk5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab地最小值是()dvzfvkwMI1A．2B．22C．4D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.rqyn14ZNXI6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64B．最大值164C．最小值64D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)地最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y≥2x·4y＝4xy，∴xy≤116.EmxvxOtOco答案：大1169．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy地最大值为________．SixE2yXPq5解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.6ewMyirQFL个人收集整理仅供参考学习3/5当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6地最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)地最值．解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数地最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1kavU42VRUs＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.∴(x－1)＋9x－1＋2≥2x－1·9x－1＋2＝8.y6v3ALoS89当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8.11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8.M2ub6vSTnP证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，0YujCfmUCw同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，eUts8ZQVRd以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.sQsAEJkW5T当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米地二级污水处理池，池地深度一定，池地外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．GMsIasNXkA问：污水处理池地长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池地长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200TIrRGchYzg＝800×(x＋225x)＋12000≥1600x·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．个人收集整理仅供参考学习4/5版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership.7EqZcWLZNX用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.lzq7IGf02EUsersmayusethecontentsorservicesofthisarticleforpersonalstudy,researchorappreciation,andothernon-commercialornon-profitpurposes,butatthesametime,theyshallabidebytheprovisionsofcopyrightlawandotherrelevantlaws,andshallnotinfringeuponthelegitimaterightsofthiswebsiteanditsrelevantobligees.Inaddition,whenanycontentorserviceofthisarticleisusedforotherpurposes,writtenpermissionandremunerationshallbeobtainedfromthepersonconcernedandtherelevantobligee.zvpgeqJ1hk个人收集整理仅供参考学习5/5转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.NrpoJac3v1Reproductionorquotationofthecontentofthisarticlemustbereasonableandgood-faithcitationfortheuseofnewsorinformativepublicfreeinformation.Itshallnotmisinterpretormodifytheoriginalintentionofthecontentofthisarticle,andshallbearlegalliabilitysuchascopyright.1nowfTG4KI