浙江物理新学考讲义-第7讲-万有引力与航天

纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第1页共18页第7讲万有引力与航天【小纳考点精讲】【考点1】行星的运动及太阳与行星的引力1．地心说和日心说(1)地心说：太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。(2)日心说：地球是绕太阳旋转的普通星体，月球是绕地球旋转的卫星。2．开普勒行星运动定律(1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。(2)对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。(3)所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。【考点2】万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。2．表达式：F＝Gm1m2r2，其中引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。4．万有引力定律的两个易混点(1)任何两个物体之间都存在万有引力，不是只有天体之间才存在。(2)万有引力定律适用于质点间和相互作用，当物体间距离趋近于零时，并非万有引力趋向纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第2页共18页于无穷大。【例1】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是()A．太阳引力远小于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【小思点评】根据F＝GMmR2可得，F太F月＝M太R2月M月R2太，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力，A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，D正确，C错误。故选D。【例2】引力常量为G，地球质量为M，地球可看做球体，半径为R，忽略地球的自转，则地球表面的重力加速度为()A．g＝GMRB．g＝GRC．g＝GMR2D．缺少条件，无法计算【小思点评】忽略地球自转时，物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，则有mg＝GMmR2，所以g＝GMR2。故选C纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第3页共18页【考点3】万有引力定律应用1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路(1)一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。(2)两组公式GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝mamg＝GMmR2(g为星体表面处的重力加速度)2．应用万有引力定律求天体的质量、密度通过围绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力，即GMmr2＝m4π2T2·r，得天体质量M＝4π2r3GT2。(1)若知道天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3。(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期为T，则天体密度ρ＝3πGT2。【例3】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的两倍，它的直径是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的()A．0.5倍B．2.0倍C．4倍D．8.0倍【小思点评】由题可知该星球的M＝2M0，R＝12R0，R0为地球半径，M0为地球的质量，设宇航员质量m，则宇航员在星球上的万有引力为F＝GMmR2，在地球上的万有引力为F0＝GM0mR20，纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第4页共18页可求得F＝8F0，故本题正确选项为D。【例4】有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)()A.14B．4倍C．16倍D．64倍【小思点评】天体表面的重力加速度g＝GMR2，又知ρ＝3M4πR3，所以M＝9g316π2ρ2G3，故M星M地＝g星g地3＝64。故选D。【考点4】星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法1．地球表面的重力加速度。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律可得g0＝GMR20(R0为地球的半径)。该式也适用于其他星体表面。2．离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律，有g＝GM（R0＋h）2(R0为地球的半径)。【例5】宇航员王亚平在“天宫”一号飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0B.GM（R＋h）2C.GMm（R＋h）2D.GMh2【小思点评】飞船受到的万有引力等于在该处所受的重力，即GMm（R＋h）2＝mg，得g＝GM（R＋h）2，B选项正确。故选B。纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第5页共18页【考点5】宇宙航行1．环绕速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度。(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。(4)第一宇宙速度的计算方法。①由GMmR2＝mv2R得v＝GMR。②由mg＝mv2R得v＝gR。2．第二宇宙速度和第三宇宙速度(1)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。(2)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。【例6】如图所示，“天宫二号”在距离地面393km的近圆轨道运行。已知万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝6.0×1024kg，地球半径R＝6.4×103km。由以上数据可估算()A．“天宫二号”质量B．“天宫二号”运行速度C．“天宫二号”受到的向心力D．地球对“天空二号”的引力【小思点评】根据万有引力提供向心力得，GmMr2＝mv2r，可得v＝GMr，所以选项B正确；天宫二号的质量会两边消去，无法求出天宫二号的质量，选项A错误；天宫二号受到的向心力和地球对天宫二号的引力都因不知其质量而无法求出，选项C、D错误。故选B。纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第6页共18页【例7】某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R1，乙的轨道半径为R2，R2R1。根据以上信息可知()A．甲的质量大于乙的质量B．甲的周期大于乙的周期C．甲的速率大于乙的速率D．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力【小思点评】根据卫星模型，离地面越近，向心加速度、线速度、角速度越大，周期越小，B错，C对；卫星质量不能比较，A错；因为两卫星质量不知道，万有引力也不能比较，D错。故选C。【考点6】卫星的线速度、角速度、向心加速度、周期与轨道半径的关系做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r＝man可推导出：v＝GMrω＝GMr3T＝4π2r3GMan＝GMr2⇒当r增大时v减小ω减小T增大an减小纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第7页共18页【例8】a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上。某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示。下列说法中正确的是()A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度D．a、c存在在P点相撞的危险【小思点评】由GMmr2＝mv2r＝mrω2＝mr4π2T2＝ma，可知B、C、D错误，A正确。【考点7】认识卫星的特点1．卫星的特点(1)线速度7.9km/s是所有地球卫星的最大环绕速度，而周期84min是所有地球卫星的最小周期。(2)第一宇宙速度与地球的质量有关。(3)所有地球卫星，稳定运行时，其轨道平面一定过地球的球心。2．近地卫星特点近地卫星具有所有卫星当中线速度最大，角速度最大，向心加速度最大，周期最小的特点。3．地球同步卫星特点(1)所谓地球同步卫星，指相对于地面静止，与地球做同步匀速转动的卫星。(2)地球同步卫星的周期与地球自转的周期T相同，T＝24h。(3)地球同步卫星位于地球赤道的正上方，距地球表面的距离h和线速度都是定值。(由T2r3＝4π3GM得r≈4.24×104km，则h≈3.6×104km；由v＝GMr，得v≈3.08km/s)。(4)地球同步卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，绕行方向与地球自转方向相同。纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第8页共18页(5)人造卫星的an、v、ω、T由地球的质量M和卫星的轨道半径r决定，当r确定后，卫星的an、v、ω、T便确定了，与卫星的质量、形状等因素无关，当人造卫星的轨道半径r发生变化时，其an、v、ω、T都会随之改变。【例9】我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子”由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道。此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7。G7属地球静止轨道卫星(高度约为36000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高。关于卫星以下说法中正确的是()A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9km/sB．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小【小思点评】7.9km/s是地球卫星的最大环绕速度，所以A错；地球静止轨道卫星为地球同步卫星，只能定点在赤道上空，西昌在北半球，所以B错；由GMmr2＝ma＝m4π2rT2，和r墨子＜r同步知：C正确，D错误。故选C。纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第9页共18页【小纳一级习题练】难易度：☆☆☆1．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是()A．第一宇宙速度又叫环绕速度B．第一宇宙速度又叫脱离速度C．第一宇宙速度跟地球的质量无关D．第一宇宙速度跟地球的半径无关【小思点评】第一宇宙速度又叫环绕速度，故A正确，B错误；根据定义有GmMR2＝mv2R，得v＝GMR，其中，M为地球质量，R为地球半径，故C、D错误。故选A。2．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小()A．等于7.9km/sB．介于7.9km/s和11.2km/s之间C．小于7.9km/sD．介于7.9km/s和16.7km/s之间【小思点评】卫星在圆形轨道上运动的速度v＝GMr，由于rR，所以vGMR＝7.9km/s，C正确。故选C。纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组学考系列·物理第10页共18页3．2015年9月20日，我国成功发射搭载20颗小卫星的“长征”六号火箭。在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放。假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法中，正确的是()A．20颗小卫星的轨道半径均相同B．20颗小卫星的线速度大小均相同C．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同D．不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同【小思点评】小卫星在高度不同的三层轨道上依次被释放，则运动半径不相同，A选项错误；由于小卫星运动的向心力由万有引力提