容器设计的数学建模计算

容器设计的数学建模计算【摘要】本题目属于在一定条件下求最优解的问题。具体到题目是求不同形状的容器在容积一定容器表面积最小的情况下，求容器的各项参数（圆锥台的高h，上下底面半径r,R,L；圆柱高H）之间的比值，并将解的精确度进行优化的问题。求解的大体步骤为先建立简化模型，以便于计算且使结论具有一定普遍性。使用Autocad2007绘图软件绘制图形。建立容器各项参数与表面积、体积的正确的的函数关系式，并使容器表面积达到最小，求出此时各项参数间的比值。解答过程中，因出现较为复杂的函数关系式，我们将借助数学软件LINGO9.0进行编程计算，调整输出数据的精确度的有效位数，得到最优解。【关键词】优化最小值比值理想模型1、问题重述容器的设计问题：（1）.要设计一个无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为rR，高为h。求容积在一个正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R,h/R的精确值（用整数的有限次四则运算及根式运算的最简形式表示）及它们精确到20位有效数字的近似值。（2）.要设计一个无盖的容器，是一个半径为R，高为H的圆柱面放在一个圆锥台上组成的。圆锥台的半径为R，下半径为rR,高为h.求容积在一个正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的三个比值r/R,h/R,H/R的精确值（意义同（1））及它们精确到20位有效数字的近似值。（3）.要设计一个无上盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为RL的圆锥台放在高为h，上半径为R，下半径为rR的圆锥台组成的。求容积为一整常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的四个比值h/L,H/L,r/L,R/L的精确到20位有效数字的值。2、模型假设及符号说明这虽然是一道有关容器设计的实际应用问题，而在实际生产实践中，容器是具有一定的厚度的，而因种类、工艺、功能等原因，不同的容器对厚度的要求也不尽相同，例如从原始的陶器到现代的不锈钢容器，从生活中的碗到工业炼铁的高炉，它们的厚度都不尽相同，甚至同一容器在不同部位的厚度也有所差异（如啤酒瓶的侧壁薄而底厚）。在建模计算的过程中，若将容器厚度加以考虑则会使计算难度增加，且使结果不具有一般性。因此在此我们将对模型进行假设优化，忽略容器的厚度，即容器的体积就是其容积。r：问题1）2）3）中容器下底面圆的半径；R：问题2）中圆柱的底面圆半径以及问题1）中容器的上地面园的半径和问题3）中下圆锥台的上底面圆半径；L:问题3）中上圆锥台的上底面圆半径；h:问题1）2）中圆锥台的高度以及问题3）中下圆锥台的高度；H：问题3）中上圆锥台的高度。3、模型的建立与求解空间体积与面积的线度比可以概括为A^3：A^2(A0).根据对称性原理，可以猜想当定容时，无论容器的大小，最优解时的形状是相似的，而尺寸比例是相同的。故而:当体积V为定值，不妨设V=360000。3.1模型一：容器主体为正圆台模型当容器为一个正圆台时（如右图），假设正圆台部分上半径为为R，下半径为r，R〉r，高为h，容积为v。根据假设1可知，制作容器的表面积最小作为最优设计。容器的正圆台部分侧面积：22)()(),,hrRrRhrRS（侧容器底部面积：2),,rhrRS（底所以，容器表面积：底侧表），（SShrRS,则使容器表面积最小，得：222)(),minhrRrRrhrRS（），（表0,0,03)(22rhRrRrRrRhV利用LINGO9.0计算得出:Rr=0.54858381654520368112048360043044Rh=0.892313578454584607048502590053863.2模型二：容器主体为正圆柱体，下面部分为正圆台模型当容器的上面部分是正圆柱体，下面部分是一个正圆台时（如右图），假设正圆柱体部分半径为，高为H，；正圆台部分上半径为R，下半径为r，正圆台高为h。根据假设2可知，制作容器的表面积最小作为最优设计。R容器正圆台部分表面积：222)()(),,,hrRRrrhHrRS（台容器正圆柱部分表面积：HhHrRS2),,,（柱所以，容器表面积为：HhrRRrrhHrRS2)()(),,,222（表使容器表面积最小：HhrRRrrhHrRS2)()(),,,min222（表0,0,0,03)(222HrhRrRHRrRrRhV利用LINGO9.0计算得出:Rr=0.46557098443223696805127804672009Rh=0.63534339480946571091689174932004RH=0.364657343620399789621331318896663.3模型三：容器上面部分为正圆台，下面部分为正圆台模型当容器的上面部分是正圆台，下面部分是一个正圆台时（如右图），假设上正圆台部分上半径为L，下半径为R，高为H，；下正圆台部分上半径为R，下半径为r，正圆台高为h。根据假设3可知，制作容器的表面积最小作为最优设计。容器下正圆台部分表面积：222)()(),,,,hrRrRrhHLrRS（下容器上正圆柱部分表面积：22)()(),,,,HRLLRhHLrRS（上所以，容器表面积为：22222)()()()(),,,,HRLLRhrRrRrhHLrRS（表使容器表面积最小：22222)()()()(),,,,minHRLLRhrRrRrhHLrRS（表0,0,0,0,0,3)(3)(2222LHrhRRLrRLRLRHrRrRhV利用LINGO9.0计算得出；Rr=0.43175490858648773599301093352809Rh=0.50861068764708105091211158058663RH=0.62114708817460607521010251305339RL=1.17252843437931873946545039400224、模型的评价与拓展4.1评价4.1.1优势模型直观简单，易于理解想象，便于计算，具备一般性、普遍性、概括性。4.1.2不足在求解的同时，我们也同样认识到一些问题与不足。现实生活生产活动中应用的容器，它们普遍具有厚度——材料的厚薄程度。比如杯子，它是一种形状类似于圆柱体，侧壁厚度与底面厚度不同的容器。因此不论是何种容器，均是由某种材料制成，因而也必然有一定的厚度。现实生活生产中应用的容器，它们因用途不同等原因，为了能更加便于利用，也具有着不同的形状与结构。而我们在解题的时候将厚度忽略，将容器的工艺结构极度简化为由简单曲面拼接而成，进而简化了模型，降低了问题的深入程度。这样虽然利于模型的建立、问题的解决，却也导致了与现实的脱节，这个不足必然会限制模型的普适性。4.2拓展对于定容容器表面积最优化模型的推广，相当具有借鉴意义。这是因为无论是塑料容器，还是铁质容器，无论是原始陶器还是纳米碳管，它们的制作材料千差万别，却都遵循着同样的形状设计规律。在应用领域拓展的同时，更迫切的是在脑容积一定的环境中拓展我们思考的表面积，激发我们的创新意识。比如研制容积可自由变化的杯子以方便不同时间不同地点的使用，比如研制可以自动修补缺口的轮胎以降低由此诱发的交通事故率，比如纳米量级的药丸以提高服用的口感和身体吸收效率等等。参考文献[1]姜启源，《数学建模（第三版）》，北京：高等教育出版社，2003年。[2]韩旭里，《微积分（上下）》，北京：科学出版社，2008年。[3]韩旭里，《线性代数》，北京：科学出版社，2008年。[4]薛定宇，陈阳泉《高等应用数学问题的Matlab求解》，北京：清华大学出版社，2004年。[5]谢金星，《优化模型与Lingo/Lindo软件》北京：清华大学出版社，2005年。[6]全国大学生数学建模竞赛组委会，《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编（1992-2000）》北京：中国物价出版社，2002年。附录（程序源代码以及运行结果）使用Lingo求解（说明：r=x1，R=x2，h=x3，H=x4，L=x5，体积V为定值，设V=360000）1）v=360000;10min=(x1^2+(x1+x2)*(x3^2+(x2-x1)^2)^(1/2))*3.1415926;(1/3)*3.14159*(x2^2+x2*x1+x1^2)*x3=v;x2x1;Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:20417.76Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:115VariableValueReducedCostV360000.00.000000X132.519330.000000X259.278690.000000X352.895180.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.000000-0.3781064E-01220417.76-1.00000030.000000-0.3781066E-01426.759360.0000002）v=360000;min=(x1^2+(x1+x2)*(x3^2+(x2-x1)^2)^(1/2)+2*x2*x4)*3.1415926;(1/3)*3.14159*(x2^2+x2*x1+x1^2)*x3+3.1415926*x2^2*x4=v;x2x1;Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:19937.61Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:150VariableValueReducedCostV360000.00.000000X125.219510.000000X254.168990.000000X334.415910.000000X419.753120.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.000000-0.3692149E-01219937.61-1.0000001130.000000-0.3692149E-01428.949490.0000003）v=360000;min=(x1^2+(x1+x2)*(x3^2+(x2-x1)^2)^(1/2)+(x5+x2)*(x4^2+(x5-x2)^2)^(1/2))*3.1415926;(1/3)*3.14159*(x2^2+x2*x1+x1^2)*x3+(1/3)*3.14159*(x5^2+x5*x2+x2^2)*x4=v;x2x1;x5x2;Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:19738.99Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:215VariableValueReducedCostV360000.00.000000X120.909860.000000X248.429930.000000X324.631980.000000X556.785470.000000X430.082110.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.000000-0.3655368E-01219738.99-1.00000030.000000-0.3655368E-01427.520070.00000058.3555340.000000