点线面之间的位置关系

点、线、面之间的位置关系【基础回顾】一、三个公理和三条推论公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。二、平行和垂直位置关系的判断方法1、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。2、两直线垂直的判定：（1）勾股定理（2）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直；（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线；（4）如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（6）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。3、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。4、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。5、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（2）定义法：即证两个相交平面的二面角为直角；6、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。三、异面直线所成角（1）范围：(0,]2；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。四、直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：[0,90]；（3）求法：作出直线在平面上的射影，将直线与平面的夹角转化为平面角来求；（4）特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。六、二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：[0,]；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式cosSS射原＝，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。七、空间距离的求法（立体几何中角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长。【常见题型】题型一：点共线和共面问题【例1】如图正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1）∵正方体1111ABCDABCD中，1BB//1DD，∴BD//11BD.又∵111BDC中，E、F为中点，∴EF//1112BD.∴//EFBD,即D、B、F、E四点共面.（2）∵1QAC平面，QBE平面，1PAC平面，PBE平面，∴1ACBEPQ平面平面.又1ACBER平面，∴1RAC平面，RBE平面，∴RPQ.即P、Q、R三点共线奎屯王新敞新疆【例2】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得,ab.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，d.假设c，则cC,在平面内过点C作//cb，因为b//c，则//cc，此与ccC矛盾.故直线c.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.题型二：求异面直线所成角【例1】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.PQFED1C1B1A1DCBAc'badcCBAABCDEFGMO【例2】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2，∴PM=PN=1.而AN=DN=3，由MN⊥AD，AM=1，得MN=2，∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.题型三：直线与平面平行的位置关系【例4】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC证明：设PC的中点为G，连接EG、FG.∵F为PD中点，∴GF∥CD且GF=12CD.∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点，∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形.∴EG∥AF，又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC.【例5】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC，OE=12DC.∵DC∥D1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形.∴EF∥D1O.又∵EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.【例6】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.证明：如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE，在BCD中，G、F分别是BD、CD中点，∴//GFBC，∵G为BD中点，∴O为MD中点，在AMD中，∵E、O为AD、MD中点，∴//EOAM，又∵AM平面EFG，EO平面EFG，∴AM∥平面EFG.点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例7】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B奎屯王新敞新疆证明：∵11111111//,,AABBAABEEBBBBEEB平面平面，∴111//AABEEB平面.D1C1B1ABCDA1E1E又11111111AAADDAADDABEEBEE平面，平面平面，∴11//AAEE.则111111//////AABBBBEEAAEE.【例8】如图，//AB，//ACBD，C，D，求证：ACBD.证明：连结CD，∵//ACBD，∴直线AC和BD可以确定一个平面，记为，∵,CD，,CD，∴CD，∵//AB，AB，CD∴//ABCD，又∵//ACBD，∴四边形ACDB为平行四边形，∴ACBD.题型四：平面与平面的位置关系【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.【例2】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：PM：MA=BN：ND=PQ：QD.∴MQ//AD，NQ//BP，而BP平面PBC，NQ平面PBC,∴NQ//平面PBC.又ABCD为平行四边形，BC//AD，∴MQ//BC，而BC平面PBC，MQ平面PBC,∴MQ//平面PBC.由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，∴平面MNQ∥平面PBC.点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.【例4】直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱13AA，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点.（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；（2）求平面AMN与平面EFDB的距离.证：（1）连接11AC,分别交MN、EF于P、Q.连接AC交BD于O，连接AP、OQ.ABCDβBDCAEFG由已知可得//MNEF，∴//MNEFDB平面.由已知可得，//PQAO且PQAO.∴//APOQ,∴//APEFDB平面.∴平面AMN∥平面EFDB.解：（2）过1A作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H’，易得111'2AHAPHHPQ.由22221122383()42APAAAP,根据11AAMNAAMNVV,则1