时间序列分析第三章王燕第1-6题习题解答

时间序列分析习题解答第三章P.1003.5习题1.已知AR(1)模型为：210.7,~(0,)ttttxxWN。求222(),(),ttExVarx和。解：因为模型为中心化AR(1)模型，(1)11()(0.7)0.7()()0.7()0ttttttExExExEEx所以()0tEx；(2)因为10.7tttxx，即00.710.7itttiixB所以有：222220()0.7()1.9610.70.51ittiVarxVar；(3)10.7,0kkkk，所以220.70.49；(4)因为是AR(1)模型，偏相关系数一阶截尾，所以220。2.已知某AR(2)模型为：21122,~(0,)tttttxxxWN,且120.5,0.3，求12,的值。解：由平稳AR(2)模型的自相关系数递推公式为1k211201k0k=11k2，，，，即0112211201,10.3=0.5，所以有1212210.510.3解得：12715115。3.已知某AR(2)模型为：2(10.5)(10.3),~(0,)tttBBxWN，求(),(),,ttkkkExVarx，其中k=1,2,3。解：化简模型，可得：12120.80.15,0.80.15ttttttttxxxxxx即，(1)已知：120.8,0.15，验证22121||0.151,0.651,0.951，AR(2)平稳故：12()(0.80.15)ttttExExx120.8()0.15()()0.65()0ttttExExEEx得()0tEx；(2)120.8,0.15220212121()(1)(1)(1)tVarx2210.151.982331(10.15)(10.80.15)(10.80.15)；(3)自相关系数k，由AR(2)的递推公式，得：1120.8160.695652110.1523211200.80.6956520.1510.406522312210.80.4065220.150.6956520.22087；(4)偏自相关系数kk：11120.8160.695652110.15232220.153304.已知AR(2)序列为212,~(0,)tttttxxcxWN，其中t为白噪声序列。确定c的取值范围，以保证tx为平稳序列，并给出该序列k的表达式。解：要使AR(2)的tx平稳，需满足：12221,1,1且，即：11111ccc，所以10c时，tx为平稳序列。所以可得该AR(2)模型的自相关系数递推式为：121k01k11k2kkkcc，，，。5.证明对任意常数c，如下定义的AR(3)序列一定是非平稳序列：2123,~(0,)ttttttxxcxcxWN。证：将123Btttttttxxcxcxx化为（）则232B1BcB+cBB)(1-cB（）=(1-)，令12311B0B1BBcc（），，，由特征值i与Bi互为倒数的关系，知1231cc，，，无论c取何值，11，不能小于1。或者，该序列的特征方程为：32--c0c，解该特征方程得三个特征根同上。故上述定义的AR(3)序列一定是非平稳序列。6.对于AR(1)模型：),0(~,211WNxxtttt，判断如下命题是否正确：(1)2210)1((2)11)])([(ttxxE(3)1ˆ()lTTxlx(4)24211121()lTTlTlTlTel…(5)221ˆlim[()]TlTlVarxxl解：（1）命题不正确。平稳AR（1）模型，即1||1时，方差2212120)1(1；（2）命题不正确。101111][)])([(ttttxxExxE（3）命题正确。1ˆ()lTTxlx正确，2111ˆˆˆ(1),(2)(1),......TTTTTxxxxx因为类推可得。(4)命题不正确。因为AR（1）模型GREEN函数为jj1Gj=，0,1,2，...预测误差为：11211112110()llTiTliTlTlTlTielG…24211121lTlTlTlT…（5）命题不正确。221122222112001[()]1llliTiiiVarelG222211ˆlim[()]1TlTlVarxxl.证毕。