第二章-复变函数钟玉泉版习题解答提示

第二章习题解答提示（一）1.（定理）设连续曲线,),(:ttzzC，有),(0)(00ttz，则（试证）曲线C在点)(0tz有切线。分析1）在)(0tz的某去心领域内能联结割线)()(10tztz；2）割线的极限位置就是切线。证1）,0使}{\),(0001tttt，有)()(01tztz，即C在)(0tz的对应去心领域内无重点，即能够连接割线)()(10tztz，否则就存在数列,01ttn使)()(01tztzn。于是0)()(lim)(0101001tttztztznnttn，这与假设矛盾。2）01001),(ttttt，,)()(arg)()(arg010101tztztttztz)()(arglim010tztztt（对)(0tz割线)()(10tztz倾角的极限）01010101)()(limarg)()(arglim0101tttztztttztztttt)(arg0tz。因此,割线确实有极限位置,即曲线C在点)(0tz的切线存在,其倾角为)(arg0tz.3.设.0,0;0,)(223333)(ziyxzzfyxyxiyx试证)(zf在原点满足..RC条件,但却不可微.证1)有公式(2.5)及(2.6)有;1)0()(lim00izfzfivuxyxx.1)0()(lim00izfzfviuyxyy2)但z当沿直线0)0(mmxy时,zfzfz)0()(lim0随m而变.4.试证下列函数在z平面上任何点都不解析:(1)z;(2)yx;(3)zRe;(4)z1.分析由于孤立的可微点不是解析点,故只须证明各函数个别点外处处不满足解析的必要条件:..RC条件.证(1)当0z时,即yx,至少有一0时,或有,yxvu或有.xxvu故z至多在原点可微;(2)在上处处不满足..RC条件;(3)的结论同(2);(4),122yxiyxzzzz除原点外,..RC条件处处不成立.5.判断下列函数的可微性和解析性:(1);)(22yixxyzf(2);22iyx(3);32)(33iyxzf(4)).3(33223yxyixyx分析如只在孤立点或只在直线上可微,都未形成由可微点构成的圆邻域,故都在其上不解析;利用推论2.3考查可微性,然后应用解析的定义.解(1).),(,),(22yxyxvxyyxu仅当0yx时,22,22xyvuxyxvuyxyyx且此四偏导数在原点连续,故)(zf只在原点可微,且.0)2()()0()0,0(2)0,0(xyixivufxx6.若函数)(zf在区域D内解析,且满足下列条件之一,试证)(zf在D内必为常数.(1)在D内;0)(zf(2))(zf在D内解析;(3))(zf在D内为常数;(4))(Rezf或)(Imzf在D内为常数.分析分别由各题设条件及..RC条件得:在D内,0yxyxvvuu从而vu,在D内为常数.引理*在区域D内0yxyxvvuu(A)在D内vu,为常数.事实上,1)设000iyxz为D内一定点.)(00yyixxiyxz是D内任一点.若这两点能用全含于D内的直线段zz0来联结,则有:),(),(0000yxuyyxxuuxyyxxux),(00).10(),(00yyyxxuy)(这是因为,”若令),10(,00tytyyxtxx则有),,()(00ytyxtxutFxytyxtxutFx),()(00.),(00yytyxtxuy而.,ydtdyxdtdx由数学分析中的微分中值定理得)()01)(()0()1(FFFF).10(于是)(式成立.”从而由)(知,0u即),(),(00yxuyxu.即在D内u为常数.同理,在D内v为常数.2)若联结两点0z与z的直线段不全含于D内,由区域的连通性知,可用全含在D内的折线段将0z与z连接.若111iyxz是折线上0z后面的一个顶点,则在)1段中u的表达式)(中,令,1010,yyyxxx立即得).,(),(0011yxuyxu如此逐步推算,由一顶点至另一顶点,最后可得.,,00yxuyxu即在D内u为常数.同理,在D内v为常数.引理*证毕.证(1)...)(0,yyxxiuvRCivuzfDiyxz(2)由题设条件ivu及ivu在D内解析,再由..RC条件可推得0yxyxvvuu最后有引理*可得证.(3)由题设,在D内)(zf常数C.1).0)(0zfC2).0)(0zfC证一)()()(2zfCzfCzf在D内解析,于是由题(2)得知Dzf在)(内为常数.证二,0222Cvu分别对yx,微分,再应用..RC条件,讨论解二元一次方程组,即得在D内.0yxyxvvuu(4)由..RC条件推得,在D内.0yxyxvvuu8.试证下列函数在z平面上解析,并分别求出其导函数.(1);33)(3223iyxyyixxzf(2));sincos()sincos()(yxyyieyyyxezfxx(3);cossin)(xshyixchyzf(4);sincos)(xshyixchyzf证应用定理2.5及求导公式(2.7).),2cos(2sin21sin)cos()cos(cosnbabbnnbabaa(1)及).2sin(2sin21sin)sin()sin(sinnbabbnnbabaa（2）证一分别证明（1）和（2）.按定义将正,余弦函数表成指数函数,再等比级数求和的公式简化.注由于a和b是复数,不能从(1)+i(2)着手化简后,再比较实,虚部.证二先将(1)和(2)式两端各乘2sinb去分母后,再应用三角函数中积化和差的公式,代入左端化简.16.试证：（1）ishziz)sin(；（2）chziz)cos(；（3）ziizshsin)(；（4）zizchcos)(；（5）ithziztg)(；（6）itgzizth)(.证（1）、（2）应用定义2.5及2.7；（3）由（1）；（4）由（2）；（5）、（6）由定义2.6、及2.7及（1）、（2）.17.试证：（1）122zshzch；（2）1sec22zthzh；（3）212121)(shzshzchzchzzzch.证（1）由16题（1）、（2）；（2）由本题（1）；（3）由16题（1）、（2）.18.若,iyxz试证：（1）xshyixchyzcossinsin；（2）xshyichyzsincoscos；（3）yshxz222sinsin；（4）yshxz222coscos.证（1）、（2）应用16题（1）、（2）；（3）、（4）分别应用本题（1）、（2）及17题（1）.20.试解方程：（4）0sincoszz；（5）itgz21.解（4）.0)sin21cos21(2zzkz4（k为整数）.（5）Arcz)21(1)21(121)21(iiiiLniitg5221iLni21)12(21arctgkz+).,1,0(5ln4ki21.设irez，试证)cos21ln(21)1ln(Re2rrz.证设iez1，则ln)1ln(Rez.22.设3zw确定在从原点0z起沿正实轴割破了的z平面上，并且iiw)(，试求)(iw之值.解一32)(3)()(kzikezrzw，（Gz：2)(0z；2,1,0k）1）利用iiw)(定)2;2,kk求)(2iw.解二作图2.0.13)(zzf3arg31)(argzzfcc.再由公式（2.25）计算).)((6ieif23.设3zw确定在从原点0z起沿负实轴割破了的z平面上，并且32)2(w（这是边界上岸点对应的函数值），试求)(iw之值.解一.,222iieie由32)2(w定,1,kk从而.)(651ieiw解二作图2.0.2.3)(zzf，而.arg)2(arg3zf又c.6arg31)(arg,2argzzfzcc再应用公式（2.25）计算))((65ieif.24.已知1)(4zzf在ox轴上A点（1ROA）的初值为14R，令z由A起沿正向再以原点为中心的圆周上走41圆周而至oy轴的B点，问)(zf在B点的终值为何？分析题设的函数1)(4zzf是具有四个有限支点的二值函数，讨论起来比较繁难，而经过变数代换4zw后，就简化成具有单有限支点-1的二值函数1ww.解z在z平面上沿以0z为心，1R为半径的圆周c从A走到B，经过变换4zw，其象点w在w平面上w=0为心，14R为半径的象圆周从'A走到B，刚好绕1ww的交点-1转一整周.故它在B的值为1w.因此1|)(|)(4RzfzfAB.25.试证：在将z平面适当割开后，函数32)1()(zzzf能分出三个单值解析分支.并求出在点2z取负值的那个分支在iz的值.分析仿例2.3.14，2.3.15及2.3.16解之.证)(zf的支点是,1,0z在沿]1,0[割开的z平面的区域D内，)(zf能分出三个单值解析分支.证一令11rz1ie，2rz2ie当2z时，2,1,0,2121rr.由已知)(argzfk定1,kk.然后计算ieif127612)(32232121)]()[()(kikezrzrzfzAB证二作图2.0.4.由2到i，取路线1C.,127)(arg1zfc再按公式（2.25）计算)(if证三作图2.0.4.由2到I,取路线2C,1217)(arg2zfc.再按(2.25)计算)(if.(二)1.设21)(zzzf,试证.1,0)()(Rezzfzfz证2224221)Im(2111)()(zzizzzzfzfz.2.设zzzf1)(,试证.1,0)()(1Rezzfzfz证3.若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析.证一设zz、0分别为下半z平面内的定点及动点，可证)()()(lim0000zfzzzfzfzz.由0z的任意性及解析的定义得证.证二),(),()(yxivyxuzf在上半平面)0(y内解析1)),(),,(yxvyxu在0y可微，且2)yyxvxyxu),(),(,)0(),(),(yxyxvyyxu考查)0)(,(),()(yyxivyxuzf，则可证：1)),(),,(yxvyxu在0y内可微，且由式有2）yyxvxyxuy),()(,)0(，xyxvyyxu),()(,.4．(形式导数)(1)设二元函数),(yxu有偏导数.此函数可以写成iyxz及z的函数).2,2(izzzzuu试证(形式地)yuixuzuyuixuzu21,21(2)设复变函数),(),()(yxivyxuzf,且),(yxu和),(yxv都有偏导数.试证(形