惯性矩的计算

附录截面几何性质§1静矩和形心§2惯性矩、惯性积和惯性半径§3平行移轴公式附录截面几何性质§4主惯性轴、形心主惯性轴§1静矩和形心Sy和Sz分别称为整个截面积对于y轴和z轴的静矩。1、静矩和形心的定义AydAzSAzdAyS形心坐标ASAdAyyZACASAdAzzYAC应用式CZyASCYzASCZyASCYzAS0SZ0yC0SY0zC结论：若图形对某一轴的静距等于零，则该轴必然通过图形的形心；若某一轴通过图形的形心，则图形对该轴的静距必然等于零；形心轴：通过图形的形心的坐标轴。yiAySdAzSziAzSdAyS101012580C1C2yz1、组合截面的静矩和形心截面对某一轴的静距等于其组成部分对同一轴的静距之和。其中，yi与zi分别为第i个简单图形的形心坐标。iiiiziACAAyASAdAyyiiiiyiACAAzASAdAzz例题1、截面图形如图所示，试计算截面的形心位置。解：将该截面看成由矩形①和矩形②组成，每个矩形的面积和形心坐标分别为：矩形①：A1=1250mm2，y1=5mm，z1=62.5mm矩形②：A2=700mm2，y2=45mm，z2=5mmmmAAAyAyyc36.19212211mmAAAzAzzc9.41212211101012580C1C2yz§2惯性矩、惯性积和惯性半径iIAiIAyyzziy、iz分别称为截面对y轴和z轴的惯性半径。1、定义Iy、Iz分别称为截面面积对y轴和z轴的惯性矩，Iyz称为截面面积对y轴和z轴的惯性积。A2ydAzIA2zdAyIAyzyzdAI常见截面的惯性矩和惯性半径：bhzy12bhI3z12hbI3y32hiz32biy6bhW2z6hbW2y抗弯截面系数zWmaxzzyIW常见截面的惯性矩和惯性半径：dzy64dI4zzyII4dizzyii32dW3zzyWW抗弯截面系数zWmaxzzyIW)dD(D32W44z常见截面的惯性矩和惯性半径：抗弯截面系数zWmaxzzyIWdDzy圆环)dD(64I44zzyII4dDi22zzyiizyWW)dD(D32W44zIp=A2dAIp—截面的极惯性矩截面的极惯性矩：2=z2+y2A2ydAzIA2zdAyIyzpIIIIp＝d432Wp=d316Ip＝D432(1-4)Wp=D316(1-4)=d/D对于实心圆截面：对于圆环截面：Wp=maxIpWp扭转截面系数dzy圆形dDzy圆环=d/D对于实心圆截面：对于圆环截面：zpI2IzpW2WzpI2IzpW2Wdzy圆形dDzy圆环若y轴或z轴为截面的一个对称轴，则惯性积Iyz=0Iyz称为截面面积对y轴和z轴的惯性积。惯性积的性质：AyzyzdAI若Iyz=0，且y与z轴同时通过截面形心，则称其为截面的一对形心主惯性轴，对应的Iy与Iz称为截面的形心主惯性矩。若Iyz=0，则坐标轴y与z轴称为截面的一对主惯性轴；Iy与Iz称为主惯性矩。组合截面的惯性矩和惯性积：当截面由ｎ个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯性矩等于这些简单图形对于该轴的惯性矩之和。即:n1iiyny1yy)(I)(I)(IIn1iiznz1zz)(I)(I)(IIn1iiyznyz1yzyz)(I)(I)(II§3平行移轴公式IaC22证明：y=yc+bA2CzdAyICdAb)(ydAyI2AcA2zAA2cA2cdAbdAy2bdAy0dAyACAbII2zzCCzCyIIIabAAbIAIyyzzyzCdAyczcyyczczabyzoc基准轴:过形心的两正交坐标轴例2、(同例1)试计算截面对水平形心轴yc的惯性矩。解：例1中已算出该截面形心C的坐标为：yc=19.36mm，zc=41.9mm101012580C1C2yzCyc矩形①对yc轴的矩为：截面对轴yc的惯性矩应等于矩形①对轴yc的惯性矩加上矩形②对yc轴的惯性矩。即：2y1yy)I()I(Iccc矩形①对yc轴的惯性矩为：12510)9.415.62(1212510)(I231yc44mm10216矩形②对yc轴的惯性矩为：121070)(I32yc1070)9.415(244mm109.95442y1yymm109.311)I()I(Iccc类似地可求出:442z1zzmm104.101)I()I(Iccc例3、(同例1)试计算截面对水平形心轴yc和铅直形心轴zc的惯性积。101012580C1C2yzCyczc解：例1中已算出该截面形心C的坐标为：yc=19.36mm，zc=41.9mm矩形①对yc和zc轴的惯性积为：442zy1zyzymm10103.2)(I)(IIcccccc矩形②对yc和zc轴的惯性积为：222zy2zyAbaI)(I2c2ccc44mm102.661070)9.415)(36.1945(012510)9.415.62)(36.195(044mm1037111zy1zyAbaI)(I1c1ccc§4主惯性轴、形心主惯性轴sincossincos11yzzzyyA2zdAyIA2ydAzIAyzyzdAI微面积dA在新旧两个坐标系中的坐标(y1,z1)和(y,z)之间的关系为：dAyzyzoA21ydAzI12sinI2cos2II2IIyzzyzy2sinI2cos2II2IIdAyIyzzyzyA21z12cosI2sin2IIdAzyIyzzyA11zy11同样可得：若Iy1z1=0，则坐标轴y1与z1轴称为截面的一对主惯性轴；Iy1与Iz1称为主惯性矩。主惯性轴位置的确定：zyyzpII2I-tg2转轴公式主惯性矩Iyp与Izp的确定：2yz2zyzyyI4)II(212IIIp2yz2zyzyzI4)II(212IIIp形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算步骤：(1)计算截面形心；(2)计算通过截面形心的一对坐标轴yc与zc的惯性矩Iyc、Izc和惯性积Iyczc；(3)通过转轴公式确定形心主惯性轴的方位角，并计算形心主惯性矩Iyp和Izp。p若Iy1z1=0，且y1与z1轴同时通过截面形心，则称其为截面的一对形心主惯性轴，对应的Iy1与Iz1称为截面的形心主惯性矩。注意：对称轴必为形心主惯性轴。例4、(同例1)试确定截面的形心主惯性轴的位置，并计算截面的形心主惯性矩。解：例1中已算出该截面形心C的坐标为：yc=19.36mm，zc=41.9mm例3中已算出截面对于水平形心轴yc和铅直形心轴zc的惯性矩和惯性积：44ymm109.311Ic44zmm104.101Ic44zymm10103.2Icc981.0II2Itg2cccczyzyp0p3.22或0p3.112101012580C1C2yzCyc442zy2zyzyymm10354I4)II(212IIIccccccp442zy2zyzyzmm1060I4)II(212IIIccccccp1)若图形具有三根（或三根以上）对称轴，则通过图形形心的所有轴都是形心主惯性轴，且图形对任一形心轴的惯性矩（即形心主惯性矩）都相同。2)所有的正多边形截面图形的形心轴均为形心主惯性轴。关于形心主惯性轴的两个推论：小结基本要求：掌握静矩、形心、惯矩、惯性积、惯性半径、简单图形惯矩和惯积的计算、平行移轴公式。掌握组合图形的惯矩和惯积的计算。了解主形心轴和主形心惯矩。重点：掌握组合图形的形心和惯矩的计算难点：掌握组合图形的形心和惯矩的计算。