人教版八年级数学下册18.2.3-正方形

18.2.3正方形R·八年级数学下册新课导入除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？正方形正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方形？学习目标学习重、难点1.能说出正方形的意义及性质.2.能说出正方形与其他特殊四边形的关系（共性与个性）.3.知道正方形的判定方法.重点：正方形的性质及与其他特殊四边形的联系与区别.难点：正方形的性质的运用.推进新课知识点1正方形正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？是轴对称图形，有4条对称轴.正方形的性质正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.那么，如何判定一个四边形是正方形呢？判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.练习1、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？解：由折叠可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形.又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.ABCD（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。误区诊断误区一对正方形的定义理解不深，对矩形、菱形的判定不熟练，容易混淆1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（）A.AD∥BC，∠B=∠DB.AD=BC，ABCD∥＝C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC错解：A或B或D正解：C错因分析：对正方形的判定不熟练，A、B、D只能判断四边形ABCD是平行四边形或矩形或菱形.知识点1平行四边形，矩形，菱形，正方形例5求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。证明：∵四边形ABCD是正方形。∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.平行四边形菱形正方形平行四边形矩形正方形正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.练习1.如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°.在Rt△BEC中，BCECBE22900100202（m）连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=20（m），AC===40（m）S正方形ABCD=BC2=（20）2=800（m2）所以正方形的对角线长40m，面积为800m2.2ABBC228008002误区二考虑问题不全面，出现漏解情况2.如图所示，在正方形ABCD中，H是DC上一点，E是CB延长线上一点，且DH=BE，请你判断△AEH的形状，并说明理由.ABCDEH错解：△AEH为等腰三角形.理由：∵四边形ABCD是正方形.所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），∴AH=AE.则△AEH为等腰三角形.ABCDEH错因分析：本题出错原因在于分析问题时，只注重AH与AE之间的数量关系，而忽略了AH与AE之间的位置关系.正解：△AEH为等腰三角形.理由：∵四边形ABCD是正方形.所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，∴∠HAE=∠DAB=90°则△AEH为等腰直角三角形.ABCDEH随堂演练基础巩固1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.每一条对角线平分一组对角C2.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（）（2）对角线互相垂直的矩形.（）（3）对角线相等的菱形.（）（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（）是是是是综合应用3.如图，正方形ABCD中，AC与BD交于点O，点M，N分别在AC，BD上，且OM=ON，求证：BM=CN.证明：由正方形的性质可得：OB=OC，∠BOM=∠CON=90°，又∵OM=ON,∴△BOM≌△CON,∴BM=CN.课堂小结正方形的性质正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.正方形拓展延伸如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证：AF-BF=EF.证明：∵∠BAF+∠DAE=90°，又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE.又∵AB=DA，∠AFB=∠DEA=90°,∴△ABF≌△DAE，∴BF=AE，∴AF-BF=AF-AE=EF.1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。课后作业教学反思正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.教学过程中，要让学生搞清正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的区别和联系，并列表或用框图表示这些关系.教师教学时应注意让学生相互交流，获取成功的体验.习题18.1复习巩固1.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.它是一个矩形吗？为什么？解：它是一个矩形.理由：∵∠1=∠2，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD，∴AC=BD.∴ABCD是矩形.2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.ABCD证明：由四边形的内角和定理得，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠B=∠C=∠D，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形.3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次。就能得到矩形踏板.为什么？解：如图∵AB⊥AD，CD⊥AD.∴AB∥CD，∠A=90°，AD∥BC.∴四边形ABCD是矩形.ABCD4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC.求∠A，∠B的度数.ACBD解：取AB得中点D，连接CD，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴CD=AB=AD，∵AB=2AC，∴AC=AB，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠A=60°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠B=30°.12125.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求：（1）∠BAD，∠ABC解：（1）∵四边形ABCD是菱形.∴AC平分∠BCD.∴∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°，∴∠BAD=∠BCD=60°，又∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.（2）AB，AC的长.解：设AC与BD交于点O，由（1）∠BAD=60°，AB=AD.知△ABD是等边三角形.∴AB=BD=6.在Rt△ABO中，AB=6，BO=BD=3，∴AO=∴AC=2AO=≈10.39.1222633363O6.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：因为AE∥BF.∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠CBD，∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∠BAC=∠BCA，∴AB=AD=BC，∴四边形ABCD是菱形.综合应用7.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角.要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？解：剪口应与折痕成45°角.8.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下.然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了.纸盒的底面是什么形状？为什么？ABCDFGE解：纸盒的底面是矩形.如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠EDF=90°，同理∠E=∠F=90°，∴四边形DFGE是矩形.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点.∠ECD是多少度？为什么？解：∵E是斜边AB上的中点，即CE是斜边上的中线，∴CE=AB=AE，∴∠A=∠ACE，∵CD⊥AD，∴∠B+∠BCD=90°，∠A+∠ACD=90°，12∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD.∵∠ACD=3∠BCD，∴∠ACD=3∠A，又∠ADC=90°，∴∠A=22.5°∴∠ECD=∠ACD-∠ECA=67.5°-22.5°=45°10.如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=DA=BC=CD，∵BM=DN，∴AM=AN，∵MG∥AD，NF∥AB，∴四边形AMEN是平行四边形，又AM=AN，所以AMEN是菱形.同理可证EFCG是菱形.11.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB与点H，求DH的长.解：∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD，AO=AC=4BO=BD=3，∴AB==5，∵S△ABD=S菱形ABCD=∴AB·DH=12，∴DH=1212AOBO2212111222ACBD1224512.（1）如下图（1），四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0,0），（b，0），（0，d），求点C的坐标.解：（1）∵四边形OBCD是矩形，∴OD=BC，OB=DC，且CD⊥OD，CD垂直OB.∵D（0，d），B（b，0），∴C（b，d）（2）如下图（2），四边形ABCD是菱形，C，D两点的坐标分别是（c，0）（0，d），点A，B在坐标轴上，求A，B两点的坐标.解：（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，∵C（c，0），∴A（-c，0），∵D（0，d），∴B（0，-d），（3）如下图（3），四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别为（0，0），（0，d）.求B，C两点的坐标.解：（3）∵四边形OBCD为正方形,∴OD=DC=BC，且CB⊥OB，CD⊥DO，又∵D（0，d），∴B（d，0），∴C（d，d）.13.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形？并证明你的结论.解：四边形EFMN是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，又AE=BF=CM=DN，∴AN=DM=CF=BE，∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，∴EN=NM=MF=FE，∴四边形EFMN为菱形.∵∠BFE+∠BEF=90°，∴∠BEF+∠AEN=90°。∴∠NEF=90°，∴四边形EFMN为正方形.14.如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形.用这两个三角形