专题二----函数的奇偶性、对称性、周期性综合问题

第1页共10页乌鲁木齐市第一中学2019届高三二轮复习资料专题二函数的奇偶性、对称性、周期性综合问题编写：李国华【基础知识，基本方法】（Ⅰ）、函数的奇偶性函数奇偶性的判定方法方法一：定义法()yfx为奇函数()()fxfx()()0fxfx；()yfx为偶函数()()fxfx()()0fxfx；判定时，首先．．应该看定义域是不是关于原点对称．方法二：图象法根据图像判断奇函数的图象关于_____对称；偶函数的图象关于______对称．方法三：奇偶函数的运算规律①若干个奇偶性相同的函数相加减，其奇偶性不变；②若干个奇偶函数相乘除，当奇函数个数为奇数是结果为奇函数，当奇函数个数为偶数是结果为偶函数（类似“负负得正”的规律）．③函数(||)yfx一定是（）函数【方法规律技巧】1．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()fxfx－，)；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出()fx与fx的关系，得出结论．2.函数奇偶性的性质(1)如果奇函数()yfx在原点有定义，则(0)0f；(2)奇偶函数的单调性规律：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性________；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性________．（3）常见几个函数的奇偶性函数f(x)=loga(11xx)为函数（a0且a≠1）;函数f(x)=loga(21xx)为函数（a0且a≠1）函数11()212xfx为函数（Ⅱ）、函数的对称性（一）最基本的对称（1）点关于点的对称及两个函数之间的中心对称：①点；的对称点是关于点)2,2(),(),(ybxaBbayxA②点(,)(2,)AxyxaBaxy关于直线的对称点是；③点(,)AxyxmB关于直线y=的对称点是的坐标是第2页共10页④点(,)AxyxmB关于直线y=-的对称点是的坐标是⑤点(,)0AxyAxByCB关于直线的对称点是的坐标是(二)、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、()yfx与()yfx关于x轴对称。2、()yfx与()yfx关于y轴对称。3、（1）()yfx关于直线xa对称的对称函数是。即曲线(,)0fxy关于直线xa对称曲线为(2,)0faxy（2）)(xafy与()yfxb关于直线对称。4、)(xfy关于直线ay对称函数是。5、()yfx关于点(a,b)对称函数是，即曲线(,)0fxy关于(a,b)的对称曲线为(2,2)0faxby。6、曲线关于直线对称曲线为。7、曲线关于直线对称曲线为。。（三）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）：（奇偶性是一种特殊的对称性）若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”，即“同号看周期，异号看对称”。具体来说：1.函数的轴对称：定义域内任意x有)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论：)2()(xafxf)()(xafxaf)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称注意：函数)(xfy关于直线by对称问题:假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于直线by对称。2.函数的中心对称：定义域内任意x有()=()faxcfbx)(xfy的图象关于点)2,2(cba对称推论：bxafxf2)2()(bxafxf2)2()(bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称总结：（1）内反外同的关系式)()(xbfxaf表示函数)(xfy具有对称轴，对称轴方程式：括号内的式子相加除以2，可得对称轴方程（2）内反外反的关系式()=()faxcfbx表示函数)(xfy具有对称中心，)(xfy关于点)2,2(cba对称（对称中心横坐标是括号内的式子相加除以2，纵坐标是外面值除以2）第3页共10页总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。(3)：内同外同的关系式()()fxafxb和内同外反的关系式()()fxafxb，表示函数)(xfy具有周期性，前者的周期=||Tba，后者的周期=2||Tba。（四）复合函数的对称性性质1复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线2abx轴对称性质2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点)0,2(ab中心对称推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:可以简单的认为：（1）一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴（对称中心的坐标）：（2）两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）（Ⅲ）、函数的周期性(一)、函数的周期性：对于函数)(xfy，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。（二）函数周期性的几个重要结论1、()()fxTfx(0T))(xfy的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期2、()()fxafxb)(xfy的周期为||Tba3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT25、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT26、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT27、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT38、)(1)(1)(xfxfaxf则)(xfy的周期为aT4；1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.1)()(1)(xfxfaxf则)(xfy的周期为aT2；（三）对称性与周期性的关系1、有两条对称轴和（周期2、有两个对称中心和周期第4页共10页3、有一条对称轴和一个对称中心周期4、奇函数满足周期。5、偶函数满足周期。（四）、对称性与方程的根之间的关系（1）若时，对称，则当关于点（kyyhxxkhxfy2,2),)(//kxhfxfxfxf2)2()()()(/nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121（2）若)(),()()2()(xfyxafxafxafxf则或的图像关于直线ax对称。设个不同的实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121.),212(111axxaxkn时，必有当（Ⅳ）、“类”周期函数问题1、()()fxkfxT问题相关结论是：2、一个周期函数与非周期函数的和（差）积（商）的综合问题例1、已知函数()fx对任意实数x均有()(2)fxkfx，其中常数k为一个不为1的正数，且()fx在区间0,2上有表达式()(2)fxxx（1）求(1)f，(2.5)f的值；（2）写出()fx在3,3上的表达式，并讨论函数()fx在3,3上的单调性；（3）求出()fx在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.例2、已知函数()fx对任意实数x均有()(2)fxkfx，其中常数k为负数，且()fx在区间0,2上有表达式()(2)fxxx（1）求(1)f，(2.5)f的值；（2）写出()fx在3,3上的表达式，并讨论函数()fx在3,3上的单调性；第5页共10页（3）求出()fx在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.例3、（11年上海文14）设()gx是定义在R上，以1为周期的函数，若函数()()fxxgx在区间[0,1]上的值域为[2,5]，则()fx在区间[0,3]上的值域为__________.二、课前小测1、(2014全国1)设函数)(),(xgxf的定义域为R,)(xf是奇函数,)(xg是偶函数,下列结论中正确的是（）A．)()(xgxf是偶函数B．)(|)(|xgxf是奇函数C.|)(|)(xgxf是奇函数D．|)()(|xgxf是奇函数2、已知函数()fx对一切,xyR，都有()()()fxyfxfy，则()fx为()A．偶函数B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3.函数()fx是偶函数，且在(0,)内是增函数，(3)0f，则不等式()0xfx的解集为（）A．|303xxx或B．|303xxx或C．|33xxx或D．|303xxx或04、【2014高考福建】已知函数0,cos0,12xxxxxf则下列结论正确的是（）A.xf是偶函数B.xf是增函数C.xf是周期函数D.xf的值域为,15、对于函数2()()21xfxaaR，是否存在实数a，使函数()fx为奇函数？若存在，求出a6.函数211log1axfxxx为奇函数，则实数a．7.（15年新课标）若函数f(x)=xln（x+2ax）为偶函数，则a=8.【2014高考湖南】已知)(),(xgxf分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且1)()(23xxxgxf，则)1()1(gf()A.3B.1C.1D.39.已知函数()fx为定义在2,3a上的偶函数，在0,3上单调递减，并且22()(22)5afmfmm，则m的取值范围是．第6页共10页10、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于__________对称,的图象关于__________对称。11、已知函数满足，则图象关于__________对称。12、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。13、定义在（－∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=－f（x），且在［－1，0］上是增函数，下面是关于f（x）的判断：其中正确的判断是________（把你认为正确的判断都填上）.①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在［0，1］上是增函数；④f（x）在［1，2］上是减函数；⑤f（2）=f（0）.14、函数)(xfy图象为C，C关于直线x=1对称图象为C1，将C1向左平移2个单位后得到图象C2，则C2对应函数为()A．)(xfyB．)1(xfyC．)2(xfyD．)3(xfy15、（1）已知对任意实数x都有()(4),2fxfxx当时，()fx为增函数，试比较(1)(4)(2)fff、、大小。（2）已知对任意实数x都有()(4),2fxfxx当时，()fx为增函数，试比较(1)(4)(2)fff、、大小。16、已知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为（）A、5B、10C、15D、1817、函数()fx定义域是R,且满足()fx是偶函数，(1)fx是奇函数，若(0.5)=9f，求(8.5