数学归纳法获奖公开课

北师大版《高中数学选修2-2》第一章第四节平利县中学教师：龙涛2015年3月23日问题情境一已知数列的通项公式为}{na22)55(nnan（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2）你的猜想正确吗？12341,1,1,1aaaa(1)由，*1().nanN猜想：（2）事实上，5625,121aa故猜想不成立。111nnnaaa（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？对于数列｛｝，na)∈(*Nn11,a问题情境二12341111,,,1234aaaa(1)由，*1().nanNn猜想：(2)从n=5开始逐个往下验证的想法价值不大，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。这种由前几项归纳得出一般的通项公式的方法（由特殊到一般），我们称为不完全归纳法，其结果不一定可靠，还需证明的。为了证明此类与正整数有关的问题，我们需要学习数学归纳法！北师大版《高中数学选修2-2》第一章第四节目标：1.初步理解数学归纳法原理.2.理解和记住数学归纳法证明数学命题的两个步骤.3.初步体会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式.4.掌握归纳与猜想的关系，能运用数学归纳法解决简单实际问题骨牌全倒下，需要哪些条件呢？问题探究我们先从多米诺骨牌游戏说起。当n=k证明当n=k+1时命题也成立从而命题对所有的正整数n都成立.(1)证明当n取时命题成立;(2)假设.证明一个与正整数n有关的命题,按下列步骤进行第一个值n0归纳奠基归纳递推(n0∈N+)（k≥n0,k∈N+)时命题成立，生成概念例1.用数学归纳法证明：222(1)(21)1+2++=6nnnnnN，其中证明：1n(1)当时，N+(2)假设当n=k(k)时等式成立，=1左边，1(11)(211)=1,6右边=左边右边，所以等式成立。222(1)(21)+++=6kkkk即12成立.那么当n=k+1时22222=123(1)=kk左边2(1)(21)(1)6kkkk6)1(6)12)(1(2kkkk6)672)(1(2kkk6)32)(2)(1(kkk6]1)1(2][1)1)[(1(kkk这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知的等式对任何都成立Nn用上假设递推才真写完结论才算完整需要证明的式子是?怎样用假设?带入原题中，不带假设中1、证明：1211+2+2++221()nnnN1211211+2+2++221+11+2+2++2+2=kkkknknk②假设当时，命题成立,即成立那么当时，1111=1+23=21=3=n证明：①当时，左边，右边，左边右边，命题成立∴由①、②可知对任何n∈N*时，等式都成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立1121+2kk2(1)1=21=21kk需要证明的式子是?找准起点奠基要稳用上假设递推才真写完结论才算完整1、用数学归纳法证明的对象是与有关的命题。正整数2、在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。3、书写必须规范(1)证明当n取第1个值时，命题成立(2)假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立(3)由(1)、(2)得出结论两个步骤一个结论例2.已知数列满足，试猜想的通项公式并用数学归纳法证明.n{a}11102nnaaa，n{a}解：11234210,211121312202342223143524nnaaaaaaa由和得，，，，1(1,2,).nnann归纳上述结果，可得猜想请同学们练习用数学归纳法证明这个结论下面用数学归纳法证明：1111=0==0.1na（1）当时，左边，右边，等式成立1(1,2,)nnann猜想1(1).kknkkak（2）假设当时,命题成立，即成立1(1)1.112kkkk1.nnann根据(1)和(2)，可知猜想对于任意正整数都成立1nk那么，当时,12ka1.nk这就是说，当时等式成立+1ka平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，试猜想交点的个数f(n)，并证明你的结论。1632条直线3条直线4条直线(1)=(2)2nnfnnNn猜想()且fn猜想()=?请证明你的结论下面用数学归纳法证明：2.(1)=211(1)(1)+2(+1)+1=+=+==222nnkkkkkfknkkkkkfkkkkkkkkkfkfkkk（1）当时，显然公式成立（2）假设当（2）时，公式成立，即条直线交点的个数()成立则当时,第条直线与前条直线中的每一条有一个新的交点，则增加个新的交点,此时交点个数为:条直线交点的个数()再加上，即()()∴由(1)、(2)可知对任何时，公式成立这就是说，当n=k+1时，公式也成立2nNn且思考：(1)用数学归纳法来证明问题需要几个步骤？这些步骤能否缺少，书写上要注意什么？(2)数学归纳法蕴含着什么数学思想？(3)前面学习的归纳法和数学归纳法一样吗？反思提高•1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明，要掌握数学归纳法的书写格式，即两个步骤，一个结论。•2.数学归纳法是一种方法，更是一种思想，是一种用“有限”的手段解决“无限”的问题。•3.归纳法与数学归纳法是两个貌合神离的概念：归纳法是根据事物的部分特征得出整体特征的推理方法，结论未必正确；而数学归纳法的结论是绝对正确的。反思提高1112++++23nnn2.(思考题)当时，求证：1作业布置：1.学案1.4练习题